Coordonnées d'un point et d'un vecteur

Repère de l'espace

Soient $O$ un point de l'espace $\mathcal{E}$ et $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ trois vecteurs non coplanaires de $\mathcal{V}_3$. On dit que le quadruplet $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est un repère de l'espace.

Le triplet $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est appelé base de $\mathcal{V}_3$ associée à ce repère, et $O$ en est l'origine.

Repère orthogonal, orthonormé

Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est dit :

Coordonnées d'un point dans un repère

Soit $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ un repère de l'espace. Pour tout point $M$ de l'espace, il existe un unique triplet de réels $(x\,;y\,;z)$ tel que :

Coordonnées cartésiennes d'un point

Le triplet $(x\,;y\,;z)$ est appelé coordonnées cartésiennes du point $M$ dans le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, et on note $M(x\,;y\,;z)$. On dit que $x$ est l'abscisse, $y$ l'ordonnée et $z$ la cote de $M$.

Lire les coordonnées d'un point

Dans le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, soit $M$ le point tel que $\vec{OM} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + 5\vec{k}$.

Coordonnées d'un vecteur dans une base

Soit $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ une base de $\mathcal{V}_3$. Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace, il existe un unique triplet $(a\,;b\,;c) \in \mathbb{R}^3$ tel que :

Coordonnées d'un vecteur

Le triplet $(a\,;b\,;c)$ est appelé coordonnées du vecteur $\vec{u}$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On note :

Coordonnées du vecteur vecAB

Soient $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$ deux points de l'espace. Alors les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont :

Opérations sur les coordonnées

Soient $\vec{u}(a\,;b\,;c)$, $\vec{v}(a'\,;b'\,;c')$ deux vecteurs et $\lambda \in \mathbb{R}$ un réel. Alors :

Coordonnées du milieu d'un segment

Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$ avec $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$. Alors :

Calcul de coordonnées

Soient $A(1\,;2\,;-3)$ et $B(4\,;-1\,;5)$. Déterminer les coordonnées de $\vec{AB}$ et du milieu $I$ de $[AB]$.