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Exercices corrigés : Colinéarité et coplanarité

4 exercices sur « Colinéarité et coplanarité », partie 2 du cours « Étude analytique dans l'espace » — 1ère Bac Sciences Maths.

Exercice 1

Étudier la colinéarité des vecteurs $\vec{u}(3\,;-2\,;1)$ et $\vec{v}(-6\,;4\,;-2)$.

Corrigé

Résolution.

  • $$\begin{vmatrix} 3 & -6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 12 = 0$$
  • $$\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 4 = 0$$
  • $$\begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -6 + 6 = 0$$
  • Les trois déterminants sont nuls, et on remarque que $\vec{v} = -2\vec{u}$.
  • \vec{u}\; \text{et}\; \vec{v}\; \text{sont colinéaires}

Exercice 2

On donne $A(1\,;2\,;0)$, $B(3\,;-1\,;2)$ et $C(5\,;-4\,;4)$. Montrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Corrigé

Démonstration.

  • $$\vec{AB}(2\,;-3\,;2),\quad \vec{AC}(4\,;-6\,;4)$$
  • On remarque que $\vec{AC} = 2\vec{AB}$ :
  • $$\vec{AC} = 2\cdot\vec{AB}$$
  • Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont donc colinéaires.
  • A, B, C\; \text{sont alignés}

Exercice 3

Étudier la coplanarité des vecteurs $\vec{u}(1\,;0\,;1)$, $\vec{v}(2\,;1\,;0)$ et $\vec{w}(1\,;1\,;-1)$.

Corrigé

Calcul du déterminant.

  • $$\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$
  • $$= 1\cdot(1\cdot(-1) - 1\cdot 0) - 2\cdot(0\cdot(-1) - 1\cdot 1) + 1\cdot(0\cdot 0 - 1\cdot 1)$$
  • $$= 1\cdot(-1) - 2\cdot(-1) + 1\cdot(-1) = -1 + 2 - 1 = 0$$
  • \vec{u},\vec{v},\vec{w}\; \text{sont coplanaires}

Exercice 4

Les points $A(1\,;0\,;1)$, $B(2\,;1\,;3)$, $C(0\,;-1\,;2)$ et $D(3\,;1\,;0)$ sont-ils coplanaires ?

Corrigé

Étude par déterminant.

  • $$\vec{AB}(1\,;1\,;2),\quad \vec{AC}(-1\,;-1\,;1),\quad \vec{AD}(2\,;1\,;-1)$$
  • $$\det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$
  • $$= 1\cdot\big((-1)(-1) - (1)(1)\big) - (-1)\cdot\big((1)(-1) - (1)(2)\big) + 2\cdot\big((1)(1) - (-1)(2)\big)$$
  • $$= 1\cdot(1 - 1) + 1\cdot(-1 - 2) + 2\cdot(1 + 2)$$
  • $$= 0 - 3 + 6 = 3 \neq 0$$
  • A, B, C, D\; \text{ne sont pas coplanaires}

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