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Exercices corrigés : Coordonnées d'un point et d'un vecteur

3 exercices sur « Coordonnées d'un point et d'un vecteur », partie 1 du cours « Étude analytique dans l'espace » — 1ère Bac Sciences Maths.

Exercice 1

Dans le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne $A(1\,;-2\,;3)$, $B(2\,;0\,;-1)$ et $C(-1\,;4\,;5)$. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$.

Corrigé

Calcul des coordonnées.

  • $$\vec{AB}(2-1\,;\,0-(-2)\,;\,-1-3) = (1\,;2\,;-4)$$
  • $$\vec{AC}(-1-1\,;\,4-(-2)\,;\,5-3) = (-2\,;6\,;2)$$
  • $$\vec{BC}(-1-2\,;\,4-0\,;\,5-(-1)) = (-3\,;4\,;6)$$
  • \vec{AB}(1\,;2\,;-4),\quad \vec{AC}(-2\,;6\,;2),\quad \vec{BC}(-3\,;4\,;6)

Exercice 2

Soient $\vec{u}(1\,;-1\,;2)$, $\vec{v}(3\,;0\,;-1)$ et $\vec{w}(2\,;1\,;1)$. Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{t} = 2\vec{u} - 3\vec{v} + \vec{w}$.

Corrigé

Calcul.

  • $$2\vec{u} = (2\,;-2\,;4)$$
  • $$-3\vec{v} = (-9\,;0\,;3)$$
  • $$\vec{t} = (2-9+2\,;\,-2+0+1\,;\,4+3+1)$$
  • \vec{t}(-5\,;-1\,;8)

Exercice 3

Soient $A(2\,;-1\,;3)$ et $B(4\,;3\,;-1)$. Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que $\vec{AM} = \tfrac{3}{4}\vec{AB}$.

Corrigé

Détermination de $M$.

  • $$\vec{AB}(2\,;4\,;-4)$$
  • $$\tfrac{3}{4}\vec{AB} = \left(\tfrac{3}{2}\,;3\,;-3\right)$$
  • On a $M = A + \tfrac{3}{4}\vec{AB}$ :
  • $$M\left(2+\tfrac{3}{2}\,;\,-1+3\,;\,3-3\right)$$
  • M\left(\tfrac{7}{2}\,;2\,;0\right)

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