Fonction majorée, minorée, bornée

Activité

Définition : fonction majorée, minorée, bornée

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle inclus dans $D_f$.

• $f$ est majorée sur $I$ si : $\boxed{\exists M \in \mathbb{R},\;\; \forall x \in I,\;\; f(x) \leq M}$
• $f$ est minorée sur $I$ si : $\boxed{\exists m \in \mathbb{R},\;\; \forall x \in I,\;\; f(x) \geq m}$
• $f$ est bornée sur $I$ si elle est à la fois majorée et minorée.

$M$ est un majorant, $m$ un minorant : ils ne sont pas uniques ($M + 1$ est aussi un majorant).

Propriété : caractérisation par la valeur absolue

$$\boxed{f \text{ est bornée sur } I \iff \exists K > 0,\;\; \forall x \in I,\;\; |f(x)| \leq K}$$

Méthode : montrer que f(x) ≤ M

On étudie le signe de $M - f(x)$ : on met au même dénominateur, puis on reconnaît un carré ou un produit de signe connu.

Pour montrer qu'une fonction n'est pas majorée, on raisonne par l'absurde ou on montre directement :
$$\forall M \in \mathbb{R},\;\; \exists x \in I,\;\; f(x) > M$$
Exemple : $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout $M$, $x = |M| + 1$ donne $f(x) = (|M| + 1)^2 \geq |M| + 1 > M$ : $f$ n'est pas majorée.

Exemple : f(x) = dfrac4xx² + 1 est bornée

Propriété : somme et produit de fonctions bornées

Si $f$ et $g$ sont bornées sur $I$, alors :
$$\boxed{f + g \text{ et } f \times g \text{ sont bornées sur } I}$$

Remarque : minorée ne veut pas dire bornée

$f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ :

• $f(x) - 2 = \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x} = \dfrac{(x - 1)^2}{x} \geq 0$ : $f$ est minorée par $2$.
• $f(x) > x$ (car $\frac{1}{x} > 0$) ; pour tout $M$, $x = |M| + 1$ donne $f(x) > |M| + 1 > M$ : $f$ n'est pas majorée.

Application

1. Montrer que pour tout réel $x$ : $2 < \dfrac{2x^2 + 3}{x^2 + 1} \leq 3$.
2. Montrer que $g(x) = \sqrt{x} - x$ est majorée par $\dfrac{1}{4}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
3. Montrer que $h(x) = \sin x + 2\cos x$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
4. Montrer que $k(x) = x^2 + x$ est minorée mais pas majorée sur $\mathbb{R}$.