Rappel : domaine de définition et parité

Rappel : fonction numérique et domaine de définition

Une fonction numérique $f$ associe à chaque réel $x$ au plus un réel noté $f(x)$.

Le domaine de définition de $f$ est l'ensemble des réels qui ont une image :
$$\boxed{D_f = \{\, x \in \mathbb{R} \;/\; f(x) \text{ existe} \,\}}$$

Méthode : les conditions d'existence

On écrit toutes les conditions, puis on résout le système :

• $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ existe $\iff v(x) \neq 0$
• $\sqrt{u(x)}$ existe $\iff u(x) \geq 0$
• $\dfrac{1}{\sqrt{u(x)}}$ existe $\iff u(x) > 0$
• $\sqrt{\dfrac{u(x)}{v(x)}}$ existe $\iff \dfrac{u(x)}{v(x)} \geq 0$ et $v(x) \neq 0$ : on dresse un tableau de signes.

Exemple : f(x) = dfrac√x² - 3x + 2x - 3

Définition : fonction paire, fonction impaire

Soit $f$ une fonction de domaine $D_f$.

• $f$ est paire si : $\boxed{\forall x \in D_f,\;\; -x \in D_f \;\text{ et }\; f(-x) = f(x)}$
• $f$ est impaire si : $\boxed{\forall x \in D_f,\;\; -x \in D_f \;\text{ et }\; f(-x) = -f(x)}$

La première condition dit que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$. Si elle n'est pas remplie, $f$ n'est ni paire ni impaire.

Propriété : interprétation graphique

Propriété : parité et opérations

Soient $f$ et $g$ définies sur un même domaine $D$ symétrique par rapport à $0$.

• $f$ et $g$ paires $\Rightarrow$ $f + g$ et $f \times g$ sont paires.
• $f$ et $g$ impaires $\Rightarrow$ $f + g$ est impaire et $f \times g$ est paire.
• $f$ paire et $g$ impaire $\Rightarrow$ $f \times g$ est impaire.

Application

1. Déterminer le domaine de $g(x) = \sqrt{\dfrac{1 - x}{x + 2}}$.
2. Déterminer le domaine de $h(x) = \sqrt{x - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{3 - x}}$.
3. Étudier la parité de $u(x) = x\sqrt{4 - x^2}$.
4. Montrer que $v(x) = x^3 - x + 1$ n'est ni paire ni impaire.