Exercices corrigés : Fonction majorée, minorée, bornée

Exercice 1

Niveau : Facile

Soit $f(x) = 3 - \dfrac{2}{x^2 + 1}$.

1. Montrer que pour tout réel $x$ : $1 \leq f(x) < 3$.
2. En déduire que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$. La borne $1$ est-elle atteinte ?

Corrigé

1. Encadrement

• Étape 1 : partir de x² + 1 $x^2 + 1 \geq 1$, donc $0 < \dfrac{1}{x^2 + 1} \leq 1$, puis $-2 \leq -\dfrac{2}{x^2 + 1} < 0$ (multiplication par $-2$).
• Conclusion $$\boxed{1 \leq f(x) < 3}$$

2. Conclusion

• Étape 1 : bornée $1$ est un minorant et $3$ un majorant. Et $f(0) = 3 - 2 = 1$.
• Conclusion $$\boxed{f \text{ est bornée et } f(0) = 1 \text{ : la borne } 1 \text{ est atteinte}}$$

Exercice 2

Niveau : Moyen

Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}$.

1. Montrer que $f(x) = 1 + \dfrac{x}{x^2 + 1}$.
2. Montrer que $x^2 + 1 \geq 2|x|$ pour tout réel $x$. En déduire $\left|\dfrac{x}{x^2 + 1}\right| \leq \dfrac{1}{2}$.
3. En déduire un encadrement de $f(x)$.

Corrigé

1. Écriture

• Étape 1 : séparer $x^2 + x + 1 = (x^2 + 1) + x$, puis on divise par $x^2 + 1$.
• Conclusion $$\boxed{f(x) = 1 + \dfrac{x}{x^2 + 1}}$$

2. Inégalité

• Étape 1 : un carré $x^2 = |x|^2$, donc :
• $$x^2 + 1 - 2|x| = |x|^2 - 2|x| + 1 = (|x| - 1)^2 \geq 0$$
• Étape 2 : diviser : En divisant par $2(x^2 + 1) > 0$ : $\dfrac{|x|}{x^2 + 1} \leq \dfrac{1}{2}$.
• Conclusion $$\boxed{\left|\dfrac{x}{x^2 + 1}\right| \leq \dfrac{1}{2}}$$

3. Encadrement

• Étape 1 : ajouter 1 $-\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{x}{x^2 + 1} \leq \dfrac{1}{2}$, puis on ajoute $1$.
• Conclusion $$\boxed{\dfrac{1}{2} \leq f(x) \leq \dfrac{3}{2}}$$

Exercice 3

Niveau : Difficile

Soit $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$.

1. Montrer que $f$ est minorée par $2$.
2. Montrer que $f$ n'est pas majorée sur $]0\,;\,+\infty[$.
3. Montrer que $f$ est bornée sur $\left[\dfrac{1}{2}\,;\,3\right]$ et donner un encadrement.
4. Montrer que $f$ n'est pas majorée non plus sur $]0\,;\,1]$.

Corrigé

1. Minorant

• Étape 1 : signe de f(x) − 2 : Pour $x > 0$ :
• $$f(x) - 2 = \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x} = \dfrac{(x - 1)^2}{x} \geq 0$$
• Conclusion $$\boxed{\forall x > 0,\;\; f(x) \geq 2}$$

2. Non majorée

• Étape 1 : f(x) > x $\dfrac{1}{x} > 0$, donc $f(x) > x$. Soit $M$ un réel : $x = |M| + 1 > 0$ vérifie $f(x) > |M| + 1 > M$.
• Conclusion $$\boxed{\forall M,\; \exists x > 0,\; f(x) > M \;:\; f \text{ n'est pas majorée}}$$

3. Sur $\left[\frac{1}{2}\,;\,3\right]$

• Étape 1 : majorer chaque terme $x \leq 3$ et $x \geq \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{x} \leq 2$, donc $f(x) \leq 5$. Avec 1., $f(x) \geq 2$.
• Conclusion $$\boxed{\forall x \in \left[\tfrac{1}{2}\,;\,3\right],\;\; 2 \leq f(x) \leq 5}$$

4. Sur $]0\,;\,1]$

• Étape 1 : f(x) > 1/x $x > 0$ donc $f(x) > \dfrac{1}{x}$. Soit $M$ un réel ; $x = \dfrac{1}{|M| + 1} \in ]0\,;\,1]$ donne $f(x) > |M| + 1 > M$.
• Conclusion $$\boxed{f \text{ n'est pas majorée sur } ]0\,;\,1]}$$