Exercices corrigés : Rappel : domaine de définition et parité

Exercice 1

Niveau : Facile

Déterminer le domaine puis étudier la parité de :

1. $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$
2. $g(x) = \dfrac{x^3}{|x| + 1}$
3. $h(x) = \sqrt{x + 1}$

Corrigé

1. $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$

• Étape 1 : domaine $x^2 - 4 \neq 0 \iff x \neq 2$ et $x \neq -2$ : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}$, symétrique.
• Étape 2 : parité $(-x)^2 = x^2$, donc $f(-x) = f(x)$.
• Conclusion $$\boxed{D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}, \quad f \text{ paire}}$$

2. $g(x) = \dfrac{x^3}{|x| + 1}$

• Étape 1 : domaine $|x| + 1 \geq 1 > 0$ : $D_g = \mathbb{R}$.
• Étape 2 : parité $(-x)^3 = -x^3$ et $|-x| = |x|$, donc $g(-x) = -g(x)$.
• Conclusion $$\boxed{D_g = \mathbb{R}, \quad g \text{ impaire}}$$

3. $h(x) = \sqrt{x + 1}$

• Étape 1 : domaine $D_h = [-1\,;\,+\infty[$ : $2 \in D_h$ mais $-2 \notin D_h$, le domaine n'est pas symétrique.
• Conclusion $$\boxed{h \text{ n'est ni paire ni impaire}}$$

Exercice 2

Niveau : Moyen

1. Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$. Déterminer $D_f$ et étudier la parité de $f$.
2. Soit $g(x) = |x + 1| - |x - 1|$. Étudier la parité de $g$, puis simplifier $g(x)$ sur $[0\,;\,1]$ et sur $[1\,;\,+\infty[$.

Corrigé

1. $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$

• Étape 1 : domaine : Il faut $x^2 - 1 \geq 0$, soit $x \leq -1$ ou $x \geq 1$, et $x \neq 0$ (déjà exclu).
• Étape 2 : parité : Le domaine est symétrique et $f(-x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{-x} = -f(x)$.
• Conclusion $$\boxed{D_f = ]-\infty\,;\,-1] \cup [1\,;\,+\infty[, \quad f \text{ impaire}}$$

2. $g(x) = |x + 1| - |x - 1|$

• Étape 1 : parité $D_g = \mathbb{R}$ et, comme $|-a| = |a|$ :
• $$g(-x) = |-x + 1| - |-x - 1| = |x - 1| - |x + 1| = -g(x)$$
• Étape 2 : simplifier : Sur $[0\,;\,1]$ : $|x + 1| = x + 1$ et $|x - 1| = 1 - x$, donc $g(x) = 2x$. Sur $[1\,;\,+\infty[$ : $|x - 1| = x - 1$, donc $g(x) = 2$.
• Conclusion $$\boxed{g \text{ impaire} \;;\; g(x) = 2x \text{ sur } [0\,;\,1] \;;\; g(x) = 2 \text{ sur } [1\,;\,+\infty[}$$

Exercice 3

Niveau : Difficile

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D$ symétrique par rapport à $0$. On pose, pour $x \in D$ :
$$p(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} \qquad i(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2}$$
1. Montrer que $p$ est paire, que $i$ est impaire et que $f = p + i$.
2. Montrer que cette décomposition est unique : si $f = p_1 + i_1$ avec $p_1$ paire et $i_1$ impaire, alors $p_1 = p$ et $i_1 = i$.
3. Décomposer $f(x) = \dfrac{(x + 1)^2}{x^2 + 1}$.

Corrigé

1. Existence

• Étape 1 : parité de p et i : Pour $x \in D$, $-x \in D$ et :
• $$p(-x) = \dfrac{f(-x) + f(x)}{2} = p(x) \qquad i(-x) = \dfrac{f(-x) - f(x)}{2} = -i(x)$$
• Étape 2 : somme $p(x) + i(x) = \dfrac{2f(x)}{2} = f(x)$.
• Conclusion $$\boxed{f = p + i, \;\; p \text{ paire}, \;\; i \text{ impaire}}$$

2. Unicité

• Étape 1 : une fonction paire et impaire : De $p + i = p_1 + i_1$ on tire $\varphi = p - p_1 = i_1 - i$. $\varphi$ est paire (différence de paires) et impaire (différence d'impaires).
• Étape 2 : elle est nulle : Pour $x \in D$ : $\varphi(x) = \varphi(-x) = -\varphi(x)$, donc $2\varphi(x) = 0$.
• Conclusion $$\boxed{\varphi = 0 \;\Rightarrow\; p_1 = p \text{ et } i_1 = i}$$

3. $f(x) = \dfrac{(x + 1)^2}{x^2 + 1}$

• Étape 1 : calculer f(−x) $D = \mathbb{R}$ et $f(-x) = \dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}$. On utilise $(x + 1)^2 + (x - 1)^2 = 2x^2 + 2$ et $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 4x$ :
• $$p(x) = \dfrac{2x^2 + 2}{2(x^2 + 1)} = 1 \qquad i(x) = \dfrac{4x}{2(x^2 + 1)} = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$$
• Conclusion $$\boxed{f(x) = 1 + \dfrac{2x}{x^2 + 1}}$$