Les quantificateurs

Définition : les quantificateurs

Soit $P(x)$ une fonction propositionnelle sur un ensemble $E$.

• La proposition « pour tout $x$ de $E$, $P(x)$ » s'écrit $\forall x \in E,\; P(x)$. Elle est vraie si $P(a)$ est vraie pour chaque élément $a$ de $E$.
• La proposition « il existe au moins un $x$ de $E$ tel que $P(x)$ » s'écrit $\exists x \in E,\; P(x)$.
• La proposition « il existe un unique $x$ de $E$ tel que $P(x)$ » s'écrit $\exists! x \in E,\; P(x)$.

$$\boxed{\forall \text{ : quantificateur universel} \qquad \exists \text{ : quantificateur existentiel}}$$

Remarques

• La variable d'un énoncé quantifié est muette : $\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 \geq 0$ et $\forall t \in \mathbb{R},\; t^2 \geq 0$ sont la même proposition.
• « Il existe » signifie « au moins un » : $\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 = 4$ est vraie, bien qu'il y ait deux solutions.
• $\exists! x \in E,\; P(x)$ est plus forte que $\exists x \in E,\; P(x)$ : elle affirme l'existence et l'unicité.

Propriété : ordre des quantificateurs

Soit $P(x, y)$ une fonction propositionnelle sur $E \times F$.

• Deux quantificateurs de même nature peuvent être échangés :
$$\boxed{\forall x\, \forall y,\; P(x, y) \iff \forall y\, \forall x,\; P(x, y)} \qquad \boxed{\exists x\, \exists y,\; P(x, y) \iff \exists y\, \exists x,\; P(x, y)}$$
• Deux quantificateurs de natures différentes ne s'échangent pas en général, mais on a :
$$\boxed{\big(\exists y \in F,\; \forall x \in E,\; P(x, y)\big) \Longrightarrow \big(\forall x \in E,\; \exists y \in F,\; P(x, y)\big)}$$

Exemple

Sur $\mathbb{R}^2$, soit $P(x, y)$ : « $x + y = 0$ ».

• $\forall x \in \mathbb{R},\; \exists y \in \mathbb{R},\; x + y = 0$ est vraie : pour $x$ donné, $y = -x$ convient.
• $\exists y \in \mathbb{R},\; \forall x \in \mathbb{R},\; x + y = 0$ est fausse : aucun réel $y$ n'est l'opposé de tous les réels.

Méthode : démontrer ∃!

Pour démontrer $\exists! x \in E,\; P(x)$, on procède en deux temps :

1. Existence : on trouve un élément $a$ de $E$ tel que $P(a)$ soit vraie.
2. Unicité : on suppose que $a$ et $b$ sont deux éléments de $E$ vérifiant $P$, et on montre que $a = b$. Ou bien : on suppose $P(x)$ vraie et on montre que $x$ est forcément égal à $a$.

$$\boxed{\exists! x \in E,\; P(x) \iff \text{existence} \;\text{ et }\; \text{unicité}}$$

Exemple

Montrons que l'équation $\sqrt{x + 3} = x + 1$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$, c'est-à-dire : $\exists! x \in \mathbb{R},\; \sqrt{x + 3} = x + 1$.

• Existence : pour $x = 1$, $\sqrt{1 + 3} = 2 = 1 + 1$.
• Unicité : voir la preuve.

Donc $\boxed{x = 1 \text{ est l'unique solution}}$.

Application

1. Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Écrire à l'aide de quantificateurs : « $f$ est majorée par $3$ », « $f$ s'annule au moins une fois », « $f$ est paire ».
2. Montrer que « $\forall x \in \mathbb{R},\; \exists y \in \mathbb{R},\; x^2 + y^2 = 1$ » est fausse.
3. Montrer que « $\exists x \in \mathbb{R},\; \forall y \in \mathbb{R},\; xy = y$ » est vraie.
4. Montrer que $\exists! x \in \mathbb{R}^{+},\; x + \sqrt{x} = 6$.