Proposition – Fonction propositionnelle

Activité

On considère les énoncés suivants :

1. $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$
2. Le nombre $2^{32} + 1$ est premier.
3. $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$
4. Quel est le plus grand nombre premier ?

Pour chacun, peut-on dire s'il est vrai ou faux ?

Constat : l'énoncé 1 est vrai et l'énoncé 2 est faux (Fermat le croyait premier, Euler a montré que $641$ le divise) : ce sont des propositions. L'énoncé 3 dépend des valeurs de $x$ et de $y$ : c'est une fonction propositionnelle. L'énoncé 4 est une question : ce n'est ni vrai ni faux.

Définition : proposition

Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux, mais jamais les deux à la fois.

Sa valeur de vérité est notée $V$ (ou $1$) si elle est vraie, et $F$ (ou $0$) si elle est fausse.

$$\boxed{\text{Une proposition prend exactement une valeur : } V \text{ ou } F}$$

Exemples

1. $P$ : « $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$ » est vraie.

1. $Q$ : « $2^{32} + 1$ est premier » est fausse, car $641$ divise $2^{32} + 1$.

Définition : fonction propositionnelle

Une fonction propositionnelle définie sur un ensemble $E$ est un énoncé $P(x)$ contenant une variable $x$ de $E$, qui devient une proposition chaque fois qu'on remplace $x$ par un élément de $E$.

On définit de même une fonction propositionnelle à plusieurs variables $P(x, y)$ sur $E \times F$.

$$\boxed{P(x) \text{ n'est ni vraie ni fausse ; } P(a) \text{ est une proposition pour tout } a \in E}$$

Exemple

Sur $\mathbb{R}^2$, on considère $P(x, y)$ : « $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$ ».

• $P(0, 0)$ : « $5 = 0$ » est fausse.
• $P(1, -2)$ : « $1 + 4 - 2 - 8 + 5 = 0$ » est vraie.

En fait, $P(x, y)$ est vraie uniquement pour le couple $(x, y) = (1, -2)$.

Remarques

• Une expression comme « $x^2 + 1$ » n'est pas un énoncé : elle n'affirme rien, elle ne peut être ni vraie ni fausse.
• Pour montrer qu'une égalité avec des racines est vraie, on utilise : pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$, $\sqrt{a} = b \iff b^2 = a$. Ne pas oublier la condition $b \geq 0$ : $(1 - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{2}$ mais $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} \neq 1 - \sqrt{2}$, car $1 - \sqrt{2} < 0$.
• L'ensemble des éléments $a$ de $E$ pour lesquels $P(a)$ est vraie est appelé ensemble de vérité de $P$.

Application

1. Montrer que la proposition « $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = 1 + \sqrt{3}$ » est vraie.
2. Donner la valeur de vérité de « $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$ ».
3. Donner la valeur de vérité de « $2^{10} > 10^3$ ».
4. On considère sur $\mathbb{R}$ la fonction propositionnelle $P(x)$ : « $x^2 \leq x$ ». Déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $P(x)$ est vraie.