Exercices corrigés : Les quantificateurs

Exercice 1

Niveau : Facile

Écrire chaque phrase à l'aide de quantificateurs, puis donner sa valeur de vérité en justifiant :

1. Le carré de tout réel est positif.
2. Il existe un entier naturel dont le carré vaut $2$.
3. Pour tout entier naturel, il existe un entier naturel strictement plus grand.

Corrigé

1. Le carré de tout réel est positif

• Étape 1 : écrire $\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 \geq 0$. Un carré est un produit de deux nombres de même signe, donc positif.
• Conclusion $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 \geq 0 \quad \text{: vraie}}$$

2. Un entier naturel dont le carré vaut 2

• Étape 1 : écrire $\exists n \in \mathbb{N},\; n^2 = 2$. On encadre avec les carrés voisins :
• $$1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$$
• Étape 2 : conclure : Si $n \leq 1$ alors $n^2 \leq 1$, et si $n \geq 2$ alors $n^2 \geq 4$ : aucun entier ne convient.
• Conclusion $$\boxed{\exists n \in \mathbb{N},\; n^2 = 2 \quad \text{: fausse}}$$

3. Un entier strictement plus grand

• Étape 1 : écrire $\forall n \in \mathbb{N},\; \exists m \in \mathbb{N},\; m > n$. Pour $n$ donné, $m = n + 1$ est un entier naturel et $n + 1 > n$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\; \exists m \in \mathbb{N},\; m > n \quad \text{: vraie}}$$

Exercice 2

Niveau : Moyen

Donner la valeur de vérité de chaque proposition, en justifiant :

1. $\exists y \in \mathbb{R},\; \forall x \in \mathbb{R},\; x \leq y$
2. $\forall x \in \mathbb{R},\; \exists y \in \mathbb{R},\; x = y^2 - 2y$
3. $\forall x \in \mathbb{R}^{+},\; \exists! y \in \mathbb{R}^{+},\; y^2 = x$

Corrigé

1. $\exists y\, \forall x,\; x \leq y$

• Étape 1 : supposer qu’un tel y existe : Si un réel $y$ vérifiait $x \leq y$ pour tout $x$, on pourrait prendre $x = y + 1$ :
• $$y + 1 \leq y \iff 1 \leq 0$$
• Conclusion : C'est impossible : $$\boxed{\text{Fausse (} \mathbb{R} \text{ n'a pas de plus grand élément)}}$$

2. $\forall x\, \exists y,\; x = y^2 - 2y$

• Étape 1 : forme canonique : Pour tout réel $y$ : $y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 \geq -1$.
• Étape 2 : contre-exemple : Pour $x = -2$, il faudrait $(y - 1)^2 - 1 = -2$ :
• $$(y - 1)^2 = -1$$
• Conclusion : Aucun réel $y$ ne convient pour $x = -2$ : $$\boxed{\text{Fausse}}$$

3. $\forall x \geq 0,\; \exists! y \geq 0,\; y^2 = x$

• Étape 1 : existence : Soit $x \geq 0$. Le réel $y = \sqrt{x}$ est positif et $y^2 = x$.
• Étape 2 : unicité : Soient $y \geq 0$ et $y' \geq 0$ avec $y^2 = y'^2 = x$. Alors :
• $$y^2 - y'^2 = 0 \iff (y - y')(y + y') = 0$$
• Étape 3 : conclure : Si $y + y' = 0$, deux positifs de somme nulle sont nuls, donc $y = y' = 0$. Sinon $y - y' = 0$. Dans tous les cas $y = y'$.
• Conclusion $$\boxed{\text{Vraie}}$$

Exercice 3

Niveau : Difficile

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x}{1 + |x|}$.

Montrer que : $$\forall y \in \left]-1 \,;\, 1\right[,\; \exists! x \in \mathbb{R},\; f(x) = y$$

Corrigé

Existence et unicité d'un antécédent

• Étape 1 : chercher x (analyse) : Soit $y \in \left]-1 \,;\, 1\right[$ et $x$ un réel tel que $\dfrac{x}{1 + |x|} = y$. Comme $1 + |x| > 0$, $x$ et $y$ ont le même signe. En passant aux valeurs absolues :
• $$\frac{|x|}{1 + |x|} = |y| \iff |x| = |y| + |y|\,|x| \iff |x|\left(1 - |y|\right) = |y|$$
• Étape 2 : unicité : Comme $|y| < 1$, on a $1 - |y| > 0$, donc $|x| = \dfrac{|y|}{1 - |y|}$. Le signe de $x$ étant celui de $y$, on obtient forcément $x = \dfrac{y}{1 - |y|}$ : il y a au plus une solution.
• Étape 3 : existence (vérification) : Posons $x_0 = \dfrac{y}{1 - |y|}$. Alors $|x_0| = \dfrac{|y|}{1 - |y|}$ et $1 + |x_0| = \dfrac{1}{1 - |y|}$ :
• $$f(x_0) = \frac{y}{1 - |y|} \times \left(1 - |y|\right) = y$$
• Conclusion $$\boxed{\forall y \in \left]-1 \,;\, 1\right[,\; \exists! x \in \mathbb{R},\; f(x) = y \quad\text{avec}\quad x = \frac{y}{1 - |y|}}$$