Exercices corrigés : Proposition – Fonction propositionnelle

Exercice 1

Niveau : Facile

Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes, en justifiant :

1. $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$
2. $\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$
3. $\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 = 4$

Corrigé

1. $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$

• Étape 1 : signe du second membre $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$, donc $2 - \sqrt{3} > 0$. On compare son carré à $7 - 4\sqrt{3}$ :
• $$\left(2 - \sqrt{3}\right)^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$$
• Conclusion $$\boxed{\text{Vraie}}$$

2. $\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$

• Étape 1 : produit en croix $\sqrt{2} - 1 \neq 0$ ; l'égalité revient à $(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 1$ :
• $$\left(\sqrt{2} + 1\right)\left(\sqrt{2} - 1\right) = 2 - 1 = 1$$
• Conclusion $$\boxed{\text{Vraie}}$$

3. $\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 = 4$

• Étape 1 : développer : On développe avec $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :
• $$\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} \neq 4$$
• Conclusion $$\boxed{\text{Fausse}}$$

Exercice 2

Niveau : Moyen

1. Montrer que la proposition « $\forall x \in \mathbb{R},\; (\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2 = 2$ » est vraie.
2. On considère sur $\mathbb{R}$ la fonction propositionnelle $P(x)$ : « $x^2 - |x| - 2 = 0$ ». Déterminer l'ensemble de vérité de $P$.
*Indication : $x^2 = |x|^2$.*

Corrigé

1. $(\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2 = 2$

• Étape 1 : développer : Soit $x \in \mathbb{R}$. On développe les deux carrés ; les doubles produits s'éliminent :
• $$\begin{aligned} (\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2 &= 2\cos^2 x + 2\sin^2 x \\ &= 2\left(\cos^2 x + \sin^2 x\right) = 2 \end{aligned}$$
• Étape 2 : conclure : On a utilisé $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, valable pour tout réel $x$.
• Conclusion $$\boxed{\text{La proposition est vraie}}$$

2. $x^2 - |x| - 2 = 0$

• Étape 1 : poser t = |x| : Comme $x^2 = |x|^2$, l'équation s'écrit $|x|^2 - |x| - 2 = 0$, et on factorise :
• $$|x|^2 - |x| - 2 = 0 \iff \big(|x| - 2\big)\big(|x| + 1\big) = 0$$
• Étape 2 : trier $|x| + 1 \geq 1 > 0$ ne s'annule jamais, donc l'équation équivaut à $|x| = 2$, c'est-à-dire $x = 2$ ou $x = -2$.
• Conclusion $$\boxed{\text{Ensemble de vérité : } \{-2 \,;\, 2\}}$$

Exercice 3

Niveau : Difficile

1. On considère sur $\mathbb{R}^2$ la fonction propositionnelle $P(x, y)$ : « $x^2 + 2y^2 - 2xy - 2y + 1 = 0$ ». Montrer que $P(x, y)$ est vraie si et seulement si $x = y = 1$.
2. Montrer que la proposition « $10^6 - 1$ est divisible par $7$ » est vraie, sans poser la division.

Corrigé

1. $x^2 + 2y^2 - 2xy - 2y + 1 = 0$

• Étape 1 : faire apparaître deux carrés : On sépare $2y^2 = y^2 + y^2$ et on regroupe :
• $$\begin{aligned} x^2 + 2y^2 - 2xy - 2y + 1 &= \left(x^2 - 2xy + y^2\right) + \left(y^2 - 2y + 1\right) \\ &= (x - y)^2 + (y - 1)^2 \end{aligned}$$
• Étape 2 : somme de carrés nulle : Une somme de deux carrés est nulle si et seulement si les deux carrés sont nuls : $x - y = 0$ et $y - 1 = 0$.
• Conclusion $$\boxed{P(x, y) \text{ vraie} \iff x = y = 1}$$

2. $7$ divise $10^6 - 1$

• Étape 1 : factoriser : On utilise $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = 10^3$ et $b = 1$ :
• $$10^6 - 1 = \left(10^3 - 1\right)\left(10^3 + 1\right) = 999 \times 1001$$
• Étape 2 : décomposer 1001 $1001 = 7 \times 143$, donc $10^6 - 1 = 7 \times (999 \times 143)$.
• Conclusion $$\boxed{7 \text{ divise } 10^6 - 1}$$