Définition et expression analytique du produit scalaire

Base orthonormée et repère orthonormé

Une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base de l'espace formée de trois vecteurs mutuellement orthogonaux et de norme 1 :
$$\vec{i} \cdot \vec{j} = 0, \quad \vec{i} \cdot \vec{k} = 0, \quad \vec{j} \cdot \vec{k} = 0, \quad \|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = \|\vec{k}\| = 1$$

Un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est formé d'un point $O$ (origine) et d'une base orthonormée. Dans tout ce chapitre, l'espace est rapporté à un repère orthonormé.

Dans tout ce chapitre, l'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Produit scalaire dans l'espace

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace, et $A$, $B$, $C$ trois points tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$.

Il existe au moins un plan $(\mathcal{P})$ contenant les points $A$, $B$ et $C$.

Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u}.\vec{v}$, est le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ dans le plan $(\mathcal{P})$.

Remarque importante

Toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan s'étendent dans l'espace :
- $\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}$ (commutativité)
- $(k\vec{u}).\vec{v} = k(\vec{u}.\vec{v})$ pour tout $k \in \mathbb{R}$
- $\vec{u}.(\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}$ (distributivité)
- $(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + \vec{v}^2$

Produit scalaire avec l'angle

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace. Si $\theta = (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$, alors :
$$\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta}$$

Rappel de la norme : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ pour $\vec{u}(x, y, z)$.

Expression analytique du produit scalaire

Si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ sont deux vecteurs de l'espace, alors :
$$\boxed{\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy' + zz'}$$

Exemple de calcul

Soient $\vec{u}(2, -1, 3)$ et $\vec{v}(1, 4, -2)$.

$\vec{u}.\vec{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 4 + 3 \times (-2) = 2 - 4 - 6 = -8$

Norme d'un vecteur

Si $\vec{u}(x, y, z)$ est un vecteur de l'espace, alors :
$$\boxed{\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

Distance entre deux points

Si $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ sont deux points de l'espace, alors :
$$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}}$$

Calcul de distance

Soient $A(1, -2, 3)$ et $B(4, 2, -1)$.

$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}$

Orthogonalité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :
$$\boxed{\vec{u}.\vec{v} = 0}$$On note alors $\vec{u} \perp \vec{v}$.

Preuve

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, l'angle entre eux vaut $\theta = \dfrac{\pi}{2}$. Or :$$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$Donc, en appliquant la formule du produit scalaire :$$\vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times 0 = 0$$

Vérification d'orthogonalité

Les vecteurs $\vec{u}(2, 1, -1)$ et $\vec{v}(1, -1, 1)$ sont-ils orthogonaux ?

$\vec{u}.\vec{v} = 2 \times 1 + 1 \times (-1) + (-1) \times 1 = 2 - 1 - 1 = 0$

Donc $\vec{u} \perp \vec{v}$.

Application

Soient $A(2, -1, 1)$, $B(5, 3, 1)$ et $C(6, -4, 1)$ trois points de l'espace.
Calculer $AB$, $AC$ et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ puis en déduire la nature du triangle $ABC$.

Calcul de l'angle entre deux vecteurs

Pour calculer l'angle $\theta = (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$ :
$$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \frac{xx' + yy' + zz'}{\sqrt{x^2+y^2+z^2} \times \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}$$

Application

Soient $\vec{u}(3, -1, 2)$ et $\vec{v}(1, 2, -1)$.
1. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
2. Calculer $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.
3. En déduire $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$.