Plan défini par un point et un vecteur normal

Vecteur normal à un plan

Un vecteur $\vec{n}$ est dit normal au plan $(\mathcal{P})$ si $\vec{n}$ est orthogonal à tout vecteur directeur du plan $(\mathcal{P})$.

Autrement dit : $\vec{n}$ est normal à $(\mathcal{P})$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n}$ est parallèle à toute droite perpendiculaire à $(\mathcal{P})$.

Équation cartésienne d'un plan

Soit $\vec{n}(a, b, c)$ un vecteur non nul. Le plan $(\mathcal{P})$ admet une équation de la forme :
$$\boxed{ax + by + cz + d = 0}$$
si et seulement si $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal à $(\mathcal{P})$.

Caractérisation : $M(x, y, z) \in (\mathcal{P})$ passant par $A$ de normale $\vec{n}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$.

Méthode 1 : utiliser overrightarrowAM · vecn = 0

Pour déterminer l'équation du plan $(\mathcal{P})$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ :
1. Soit $M(x, y, z)$ un point quelconque de $(\mathcal{P})$
2. Calculer $\overrightarrow{AM}(x - x_A,\ y - y_A,\ z - z_A)$
3. Écrire $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$
4. Développer pour obtenir $ax + by + cz + d = 0$

Exemple (Méthode 1)

Plan $(\mathcal{P})$ passant par $A(1, -2, 3)$ de vecteur normal $\vec{n}(1, -3, -2)$.

Soit $M(x, y, z) \in (\mathcal{P})$. On a $\overrightarrow{AM}(x-1, y+2, z-3)$.

$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$
$\Leftrightarrow (x-1) - 3(y+2) - 2(z-3) = 0$
$\Leftrightarrow x - 3y - 2z - 1 = 0$

Méthode 2 : substitution directe

Puisque $(\mathcal{P})$ a pour vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$, son équation est de la forme $ax + by + cz + d = 0$.

On détermine $d$ en substituant les coordonnées d'un point $A$ appartenant à $(\mathcal{P})$ :
$$ax_A + by_A + cz_A + d = 0 \Rightarrow d = -(ax_A + by_A + cz_A)$$

Exemple (Méthode 2)

Même plan : $(\mathcal{P})$ passe par $A(1, -2, 3)$ avec $\vec{n}(1, -3, -2)$.

Équation de la forme $x - 3y - 2z + d = 0$.

$A \in (\mathcal{P})$ donc $1 + 6 - 6 + d = 0 \Rightarrow d = -1$

Donc $(\mathcal{P}): x - 3y - 2z - 1 = 0$.

Application : plan médiateur

Donner une équation cartésienne du plan médiateur $(\mathcal{P})$ du segment $[MN]$ avec $M(0, 5, -1)$ et $N(2, 1, 1)$.