Exercices corrigés : Définition et expression analytique du produit scalaire

Exercice 1

Soient $\vec{u}(2, 1, -2)$ et $\vec{v}(1, -2, 1)$.
1. Calculer $\vec{u}.\vec{v}$.
2. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?
3. Calculer $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.
4. En déduire $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$.

Corrigé

1. Calculer $\vec{u}.\vec{v}$.

• On applique la formule $\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy' + zz'$
• $$\vec{u}.\vec{v} = 2 \times 1 + 1 \times (-2) + (-2) \times 1 = 2 - 2 - 2$$
• Donc $\vec{u}.\vec{v} = -2$.

2. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?

• Comme $\vec{u}.\vec{v} = -2 \neq 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas orthogonaux.

3. Calculer $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.

• On a $\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$
• De même $\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

4. En déduire $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$.

• On utilise $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \dfrac{\vec{u}.\vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$
• $$\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \frac{-2}{3\sqrt{6}} = \frac{-2\sqrt{6}}{18} = -\frac{\sqrt{6}}{9}$$
• Donc $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = -\dfrac{\sqrt{6}}{9}$.

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $A(1, 0, 1)$, $B(3, 1, 2)$ et $C(2, -1, 3)$.
1. Calculer $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.
2. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.
3. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Indication

Vérifier si un des produits scalaires est nul.

Corrigé

1. Calculer $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.

• On a $\overrightarrow{AB}(3-1, 1-0, 2-1) = \overrightarrow{AB}(2, 1, 1)$
• On a $\overrightarrow{AC}(2-1, -1-0, 3-1) = \overrightarrow{AC}(1, -1, 2)$
• On a $\overrightarrow{BC}(2-3, -1-1, 3-2) = \overrightarrow{BC}(-1, -2, 1)$.

2. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.

• On a $AB = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
• On a $AC = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
• On a $BC = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

3. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

• On calcule $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 2 - 1 + 2 = 3 \neq 0$
• On remarque $AB = AC = BC = \sqrt{6}$ : tous les côtés sont égaux
• Donc le triangle $ABC$ n'est pas rectangle, c'est un triangle équilatéral.

Exercice 3

Soient les points $A(0, 1, 2)$, $B(2, 3, 0)$ et $C(-1, 2, 1)$.
1. Calculer $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$.
2. Calculer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.
3. Calculer $BA$ et $BC$.
4. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.

Corrigé

1. Calculer $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$.

• On a $\overrightarrow{BA}(0-2, 1-3, 2-0) = \overrightarrow{BA}(-2, -2, 2)$
• On a $\overrightarrow{BC}(-1-2, 2-3, 1-0) = \overrightarrow{BC}(-3, -1, 1)$.

2. Calculer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

• $$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = (-2)(-3) + (-2)(-1) + (2)(1) = 6 + 2 + 2 = 10$$
• Donc $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = 10$.

3. Calculer $BA$ et $BC$.

• On a $BA = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
• On a $BC = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$.

4. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.

• On utilise $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA \times BC}$
• $$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{10}{2\sqrt{3} \times \sqrt{11}} = \frac{10}{2\sqrt{33}} = \frac{5}{\sqrt{33}} = \frac{5\sqrt{33}}{33}$$
• Donc $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{5\sqrt{33}}{33}$ (angle aigu).