Exercices corrigés : Plan défini par un point et un vecteur normal

Exercice 1

Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal{P})$ dans les cas suivants :
1. Passant par $A(1, 0, 5)$ de vecteur normal $\vec{n}(-1, 1, 0)$.
2. Passant par $A(1, 2, -1)$ perpendiculaire à la droite $(D): \begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = -3 + t \\ z = 4 - 2t \end{cases}$

Corrigé

1. $A(1, 0, 5)$ et $\vec{n}(-1, 1, 0)$

• Équation de la forme $-x + y + d = 0$
• Or $A \in (\mathcal{P})$ $-1 + 0 + d = 0 \Rightarrow d = 1$
• Donc $(\mathcal{P}): -x + y + 1 = 0$.

2. Perpendiculaire à $(D)$ en $A(1, 2, -1)$

• Le vecteur directeur de $(D)$ $\vec{u}(-3, 1, -2)$ est normal à $(\mathcal{P})$
• Équation de la forme $-3x + y - 2z + d = 0$
• Or $A \in (\mathcal{P})$ $-3 + 2 + 2 + d = 0 \Rightarrow d = -1$
• Donc $(\mathcal{P}): -3x + y - 2z - 1 = 0$.