Exercices corrigés : Asymptote oblique

Exercice 1

Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = \frac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}$.
1. Déterminer $D_g$.
2. Montrer que $(C_g)$ admet une asymptote oblique $(D)$ d'équation $y = ax + b$ en $+\infty$, en déterminant $a$ et $b$.
3. Déterminer la position relative de $(D)$ et $(C_g)$.

Indication

Pour la question 2, utiliser la méthode : calculer $a = \lim \frac{g(x)}{x}$ puis $b = \lim (g(x) - ax)$.

Corrigé

1. Déterminer $D_g$.

• On a $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$

2. Déterminer l'asymptote oblique.

• On calcule $a = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x(x+2)}$
• $$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}} = 2$$
• Puis $b = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} (g(x) - 2x)$
• On calcule $g(x) - 2x = \frac{2x^2 + 3x - 1}{x+2} - 2x = \frac{2x^2 + 3x - 1 - 2x(x+2)}{x+2} = \frac{-x - 1}{x+2}$
• $$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x-1}{x+2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = -1$$
• Donc $(D) : y = 2x - 1$ est une asymptote oblique de $(C_g)$ en $+\infty$.

3. Position relative de $(D)$ et $(C_g)$.

• On étudie le signe de $g(x) - (2x - 1) = \frac{-x - 1}{x + 2} + 1 = \frac{-x - 1 + x + 2}{x + 2} = \frac{1}{x+2}$
• Pour $x > -2$ : $g(x) - (2x - 1) = \frac{1}{x+2} > 0$
• Donc $(C_g)$ est au-dessus de $(D)$ pour $x > -2$.
• Pour $x < -2$ : $g(x) - (2x - 1) = \frac{1}{x+2} < 0$
• Donc $(C_g)$ est en-dessous de $(D)$ pour $x < -2$.

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2x^2 - 7x + 8}{x - 2}$.
1. Déterminer $D_f$.
2. Vérifier que $f(x) = 2x - 3 + \frac{2}{x-2}$ pour tout $x \in D_f$.
3. En déduire que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 3$ est une asymptote oblique.

Corrigé

1. Déterminer $D_f$.

• On a $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

2. Vérifier la forme de $f(x)$.

• On effectue la division euclidienne de $2x^2 - 7x + 8$ par $x - 2$
• On a $2x^2 - 7x + 8 = (x-2)(2x-3) + 2$
• $$f(x) = \frac{(x-2)(2x-3) + 2}{x-2} = 2x - 3 + \frac{2}{x-2}$$
• Donc pour tout $x \in D_f$, $f(x) = 2x - 3 + \frac{2}{x-2}$.

3. En déduire l'asymptote oblique.

• On a $f(x) - (2x - 3) = \frac{2}{x-2}$
• $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (2x-3)) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x-2} = 0$$
• De même $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (2x-3)) = 0$
• Donc $(D) : y = 2x - 3$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ en $+\infty$ et $-\infty$.

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x - 3 + \frac{3}{x^2}$.

Montrer que la droite $y = 2x - 3$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.

Corrigé

Montrer que $y = 2x - 3$ est une asymptote oblique.

• On calcule $f(x) - (2x - 3) = 2x - 3 + \frac{3}{x^2} - 2x + 3 = \frac{3}{x^2}$
• $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (2x-3)) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x^2} = 0$$
• De même $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (2x-3)) = 0$
• Donc la droite $y = 2x - 3$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.

Exercice 4 : Application complète

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1}$.
1. Déterminer $D_f$.
2. Montrer que la droite $y = x - 2$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

Indication

Pour la question 2, effectuer la division euclidienne de $x^2 - 3x + 1$ par $x - 1$.

Corrigé

1. Déterminer $D_f$.

• La fonction est définie si $x - 1 \neq 0$
• Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

2. Montrer que $y = x - 2$ est une asymptote oblique.

• On effectue la division euclidienne de $x^2 - 3x + 1$ par $x - 1$
• On obtient $x^2 - 3x + 1 = (x - 1)(x - 2) + (-1)$
• Donc $f(x) = x - 2 + \frac{-1}{x - 1} = x - 2 - \frac{1}{x-1}$
• $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x-2)) = \lim_{x \to +\infty} \left( -\frac{1}{x-1} \right) = 0$$
• Donc la droite $y = x - 2$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.