Définition et notations

Activité

Définition : suite numérique

Soit $n_0 \in \mathbb{N}$ et $I = \{n \in \mathbb{N} \mid n \geq n_0\}$.

Une suite numérique est une application $u$ de $I$ dans $\mathbb{R}$ ; l'image de $n$ se note $u_n$ plutôt que $u(n)$.
$$\boxed{u : I \longrightarrow \mathbb{R}, \quad n \longmapsto u_n}$$
• $u_n$ est le terme de rang $n$ (ou terme général) ;
• $u_{n_0}$ est le premier terme ;
• la suite se note $(u_n)_{n \geq n_0}$, ou $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ quand $n_0 = 0$.

Ne pas confondre la suite $(u_n)$, qui est une application, et le réel $u_n$, qui est l'un de ses termes.

Définition : modes de définition d'une suite

1. Par son terme général : $\boxed{u_n = f(n)}$. Chaque terme se calcule directement.

2. Par une relation de récurrence d'ordre 1 : on donne le premier terme et une relation qui donne chaque terme en fonction du précédent (et éventuellement de $n$) :
$$\boxed{\begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}} \qquad u_0 \xrightarrow{\;f\;} u_1 \xrightarrow{\;f\;} u_2 \xrightarrow{\;f\;} \cdots$$
3. Par une relation de récurrence d'ordre 2 : chaque terme dépend des deux précédents, il faut donc donner deux premiers termes :
$$\boxed{\begin{cases} u_0 = a, \;\; u_1 = b \\ u_{n+2} = f(u_{n+1}, u_n) \end{cases}}$$
Une suite définie par récurrence se calcule de proche en proche : pour $u_{10}$, il faut tous les termes précédents.

Définition et propriétés : le symbole sum

Pour $p \leq n$, on note :
$$\boxed{\sum_{k=p}^{n} u_k = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n}$$
Cette somme compte $n - p + 1$ termes. L'indice $k$ est muet : $\displaystyle\sum_{k=p}^{n} u_k = \sum_{i=p}^{n} u_i$.

• Linéarité : $\displaystyle\sum_{k=p}^{n} (\alpha u_k + \beta v_k) = \alpha \sum_{k=p}^{n} u_k + \beta \sum_{k=p}^{n} v_k$ ;
• Constante : $\displaystyle\sum_{k=p}^{n} c = (n - p + 1)\,c$ ;
• Télescopage : $$\boxed{\sum_{k=p}^{n} (v_{k+1} - v_k) = v_{n+1} - v_p}$$

Exemple 1 : terme général

Exemple 2 : récurrence d'ordre 1, conjecture puis preuve

Exemple 3 : récurrence d'ordre 2

La suite de Fibonacci est définie par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ et $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$.

Chaque terme est la somme des deux précédents :
$$0,\; 1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 8,\; 13,\; 21,\; 34,\; \ldots$$
Pour calculer $F_2$, on prend $n = 0$ : $F_2 = F_1 + F_0 = 1$ ; pour $F_3$, on prend $n = 1$ : $F_3 = F_2 + F_1 = 2$.

Avec un seul premier terme, la suite ne serait pas déterminée : $F_2$ demande à la fois $F_1$ et $F_0$.

Exemple 4 : une somme télescopique

Calculons $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k + 1)}$ pour $n \geq 1$.

On décompose : $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1} = \dfrac{(k + 1) - k}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k(k + 1)}$.

On télescope avec $v_k = -\dfrac{1}{k}$ : $\dfrac{1}{k(k + 1)} = v_{k+1} - v_k$, donc
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} (v_{k+1} - v_k) = v_{n+1} - v_1 = 1 - \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{n}{n + 1}$$
Vérification : $S_2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$.

Remarque : ne pas confondre

Pour $u_n = n^2$ :

• $u_{n+1} = (n + 1)^2$ est le terme suivant ; $u_n + 1 = n^2 + 1$ est $u_n$ augmenté de $1$ ;
• $u_{2n} = 4n^2$, $\;u_{n^2} = n^4$, $\;u_{n-1} = (n - 1)^2$ pour $n \geq 1$.

Nombre de termes. De $u_p$ à $u_n$ il y a $\boxed{n - p + 1}$ termes : $\displaystyle\sum_{k=n}^{2n} u_k$ en compte $n + 1$, et non $n$.

Application

1. Soit $u_n = \cos\left(\dfrac{2n\pi}{3}\right)$. Calculer $u_0, \ldots, u_5$, puis montrer que $u_{n+3} = u_n$ pour tout $n$.
2. Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 2(n + 1)$. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, puis montrer par récurrence que $u_n = n^2 + n + 1$.
3. Soit $u_0 = 1$, $u_1 = 3$ et $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$. Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$, puis conjecturer $u_n$.
4. Écrire avec le symbole $\sum$ : $A = 1 + 4 + 9 + \cdots + 100$ et $B = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} - \cdots - \dfrac{1}{64}$. Calculer $C = \displaystyle\sum_{k=2}^{5} (k^2 - 1)$.