Suite majorée, minorée, bornée

Activité

Définition : suite majorée, minorée, bornée

Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique.

• $(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \geq n_0,\; u_n \leq M$ ;
• $(u_n)$ est minorée s'il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \geq n_0,\; u_n \geq m$ ;
• $(u_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée.
$$\boxed{\begin{aligned} &(u_n) \text{ bornée} \\ &\iff \exists (m, M) \in \mathbb{R}^2,\; \forall n \geq n_0,\; m \leq u_n \leq M \end{aligned}}$$
Un majorant n'est pas unique : tout réel supérieur à un majorant est encore un majorant.

Propriété : caractérisation par la valeur absolue

$$\boxed{(u_n) \text{ est bornée} \iff \exists K > 0,\;\; \forall n \geq n_0,\;\; |u_n| \leq K}$$

Propriété : opérations et comparaison

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.

• Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont bornées, alors $(u_n + v_n)$ et $(u_n v_n)$ sont bornées ;
• si $u_n \leq v_n$ pour tout $n$ et si $(v_n)$ est majorée, alors $(u_n)$ est majorée ;
• si $u_n \leq v_n$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ est minorée, alors $(v_n)$ est minorée.

Propriété : intervalle stable

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle tel que $\boxed{f(I) \subset I}$ ($I$ est stable par $f$).

Si $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$, alors $\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; u_n \in I}$.

En particulier, si $I = [a\,;\,b]$, la suite est bornée par $a$ et $b$.

Méthode : borner une suite

• Terme général $u_n = f(n)$ : on encadre directement (décomposition, $|\sin x| \leq 1$, $|\cos x| \leq 1$, …) ou on étudie le signe de $M - u_n$.
• Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ : on raisonne par récurrence, et l'hérédité se fait :
• en encadrant $f(u_n)$ pas à pas ;
• en étudiant le signe de $M - u_{n+1}$, écrit en fonction de $M - u_n$ ;
• ou en montrant qu'un intervalle est stable par $f$.
• Une somme $\displaystyle\sum_{k} a_k$ : on encadre chaque terme, puis on additionne les encadrements.

Exemple 1 : un intervalle stable

Exemple 2 : la méthode de Héron

Remarque

• Une figure ne prouve rien : elle ne montre qu'un nombre fini de termes. Elle aide à deviner un encadrement, la récurrence le démontre.
• Suite non majorée : $\forall M \in \mathbb{R},\; \exists n \geq n_0,\; u_n > M$. Pour $u_n = \sqrt{n}$ : si $M \geq 0$, l'entier $n = \lfloor M^2 \rfloor + 1$ vérifie $n > M^2$, donc $\sqrt{n} > M$ ; si $M < 0$, $u_1 = 1$ convient.
• Une suite peut être bornée sans avoir de plus grand terme : $u_n = 1 - \dfrac{1}{n + 1}$ reste strictement inférieure à $1$.

Application

1. Montrer que la suite $u_n = \dfrac{3 + 2\sin n}{2 - \cos n}$ est bornée.
2. Pour $n \geq 1$, soit $v_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n + k}$. Montrer que $\dfrac{1}{2} \leq v_n < 1$.
3. Soit $w_0 = 0$ et $w_{n+1} = \dfrac{w_n^2 + 1}{2}$. Montrer par récurrence que $0 \leq w_n < 1$.
4. Montrer que $t_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ vérifie $0 < t_n \leq 1$.