Exercices corrigés : Définition et notations

Exercice 1

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_n = \dfrac{2n^2 - 1}{n^2 + 1}$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
2. Montrer que $u_n = 2 - \dfrac{3}{n^2 + 1}$ et exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
3. Déterminer l'entier $n$ tel que $u_n = \dfrac{17}{10}$.

Corrigé

1. Premiers termes

• Étape 1 : remplacer $n$ $u_0 = \dfrac{-1}{1}$, $u_1 = \dfrac{1}{2}$, $u_2 = \dfrac{7}{5}$.
• Conclusion $$\boxed{u_0 = -1,\;\; u_1 = \dfrac{1}{2},\;\; u_2 = \dfrac{7}{5}}$$

2. Autre écriture et $u_{n+1}$

• Étape 1 : faire apparaître $n^2 + 1$ $2n^2 - 1 = 2(n^2 + 1) - 3$, donc $u_n = 2 - \dfrac{3}{n^2 + 1}$.
• Étape 2 : remplacer $n$ par $n + 1$ $(n + 1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 2$.
• Conclusion $$\boxed{u_n = 2 - \dfrac{3}{n^2 + 1} \quad \text{et} \quad u_{n+1} = 2 - \dfrac{3}{n^2 + 2n + 2}}$$

3. $u_n = \dfrac{17}{10}$

• Étape 1 : utiliser la question 2 : On isole la fraction :
• $$\begin{aligned} 2 - \dfrac{3}{n^2 + 1} = \dfrac{17}{10} &\iff \dfrac{3}{n^2 + 1} = \dfrac{3}{10} \\ &\iff n^2 + 1 = 10 \\ &\iff n^2 = 9 \end{aligned}$$
• Étape 2 : garder l'entier naturel $n \in \mathbb{N}$, donc $n = 3$.
• Conclusion $$\boxed{n = 3}$$

Exercice 2

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence, et justifier que la suite est bien définie.

Corrigé

1. Premiers termes

• Étape 1 : de proche en proche $u_1 = \dfrac{1}{2}$, $u_2 = \dfrac{1}{3/2} = \dfrac{2}{3}$, $u_3 = \dfrac{1}{4/3} = \dfrac{3}{4}$.
• Conclusion $$\boxed{u_1 = \dfrac{1}{2},\;\; u_2 = \dfrac{2}{3},\;\; u_3 = \dfrac{3}{4}}$$

2. Conjecture

• Étape 1 : lire le numérateur et le dénominateur : Le numérateur est le rang, le dénominateur le rang plus $1$ ; et $u_0 = \dfrac{0}{1}$ convient aussi.
• Conclusion $$\boxed{u_n = \dfrac{n}{n + 1}}$$

3. Démonstration

• Étape 1 : initialisation $\dfrac{0}{0 + 1} = 0 = u_0$.
• Étape 2 : hérédité : Si $u_n = \dfrac{n}{n + 1}$, alors $u_n < 1$, donc $2 - u_n \neq 0$ et $u_{n+1}$ existe :
• $$u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - \frac{n}{n + 1}} = \dfrac{1}{\frac{n + 2}{n + 1}} = \dfrac{n + 1}{n + 2}$$
• Conclusion $$\boxed{\begin{gathered} \forall n \in \mathbb{N},\;\; u_n = \dfrac{n}{n + 1} \;\text{ et }\; u_n \neq 2 \\ \text{la suite est bien définie} \end{gathered}}$$

Exercice 3

1. Montrer que, pour tout $k \geq 1$ : $\dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} = \sqrt{k + 1} - \sqrt{k}$. En déduire $A_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}$, puis l'entier $n$ tel que $A_n = 9$.
2. Montrer que, pour tout $k \geq 1$ : $\dfrac{1}{k(k + 1)(k + 2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k(k + 1)} - \dfrac{1}{(k + 1)(k + 2)}\right)$.
3. En déduire $B_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k + 1)(k + 2)}$.

Corrigé

1. La somme $A_n$

• Étape 1 : la quantité conjuguée : On multiplie en haut et en bas par $\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}$ :
• $$\dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} = \dfrac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{(k + 1) - k} = \sqrt{k + 1} - \sqrt{k}$$
• Étape 2 : télescoper : Avec $v_k = \sqrt{k}$, $A_n = v_{n+1} - v_1 = \sqrt{n + 1} - 1$. Puis $A_n = 9 \iff \sqrt{n + 1} = 10 \iff n = 99$.
• Conclusion $$\boxed{A_n = \sqrt{n + 1} - 1 \quad \text{et} \quad A_{99} = 9}$$

2. La décomposition

• Étape 1 : réduire au même dénominateur : Le dénominateur commun est $k(k + 1)(k + 2)$ :
• $$\begin{aligned} &\dfrac{1}{k(k + 1)} - \dfrac{1}{(k + 1)(k + 2)} \\ &= \dfrac{(k + 2) - k}{k(k + 1)(k + 2)} = \dfrac{2}{k(k + 1)(k + 2)} \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{\dfrac{1}{k(k + 1)(k + 2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k(k + 1)} - \dfrac{1}{(k + 1)(k + 2)}\right)}$$

3. La somme $B_n$

• Étape 1 : télescoper : Avec $w_k = -\dfrac{1}{k(k + 1)}$, le terme de rang $k$ vaut $\dfrac{1}{2}(w_{k+1} - w_k)$, donc :
• $$B_n = \dfrac{1}{2}\left(w_{n+1} - w_1\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}\right)$$
• Conclusion $$\boxed{B_n = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2(n + 1)(n + 2)}}$$

Exercice 4

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$, $u_1 = 5$ et $u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_2$ et $u_3$.
2. On pose $v_n = u_{n+1} - 2u_n$. Montrer que $v_{n+1} = 3v_n$, puis que $v_n = 3^n$ pour tout $n$.
3. On pose $w_n = u_{n+1} - 3u_n$. Montrer de même que $w_n = -2^n$.
4. Calculer $v_n - w_n$ et en déduire $u_n$ en fonction de $n$.

Corrigé

1. Premiers termes

• Étape 1 : les deux termes précédents $u_2 = 5 \times 5 - 6 \times 2 = 13$ et $u_3 = 5 \times 13 - 6 \times 5 = 35$.
• Conclusion $$\boxed{u_2 = 13,\;\; u_3 = 35}$$

2. La suite $(v_n)$

• Étape 1 : remplacer $u_{n+2}$ : On utilise la relation de récurrence :
• $$\begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+2} - 2u_{n+1} = 3u_{n+1} - 6u_n \\ &= 3(u_{n+1} - 2u_n) = 3v_n \end{aligned}$$
• Étape 2 : récurrence $v_0 = 5 - 4 = 1 = 3^0$, et si $v_n = 3^n$ alors $v_{n+1} = 3 \times 3^n = 3^{n+1}$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; v_n = 3^n}$$

3. La suite $(w_n)$

• Étape 1 : même méthode $w_{n+1} = u_{n+2} - 3u_{n+1} = 2u_{n+1} - 6u_n = 2w_n$.
• Étape 2 : récurrence $w_0 = 5 - 6 = -1 = -2^0$, et si $w_n = -2^n$ alors $w_{n+1} = -2^{n+1}$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; w_n = -2^n}$$

4. Expression de $u_n$

• Étape 1 : la différence $v_n - w_n = (u_{n+1} - 2u_n) - (u_{n+1} - 3u_n) = u_n$.
• Étape 2 : vérifier $u_n = 3^n - (-2^n) = 3^n + 2^n$ ; on retrouve $u_2 = 9 + 4 = 13$ et $u_3 = 27 + 8 = 35$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; u_n = 3^n + 2^n}$$