Exercices corrigés : Suite majorée, minorée, bornée

Exercice 1

1. Soit $u_n = \dfrac{2n + (-1)^n}{n + 1}$ pour $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $2 - \dfrac{3}{n + 1} \leq u_n \leq 2 - \dfrac{1}{n + 1}$, puis que $-1 \leq u_n < 2$.
2. Soit $v_n = \dfrac{n\cos n}{n^2 + 1}$. Montrer que $n^2 + 1 \geq 2n$, puis que $|v_n| \leq \dfrac{1}{2}$.

Corrigé

1. $u_n = \dfrac{2n + (-1)^n}{n + 1}$

• Étape 1 : encadrer $(-1)^n$ $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ et $n + 1 > 0$, donc $\dfrac{2n - 1}{n + 1} \leq u_n \leq \dfrac{2n + 1}{n + 1}$.
• Étape 2 : décomposer $2n - 1 = 2(n + 1) - 3$ et $2n + 1 = 2(n + 1) - 1$, ce qui donne l'encadrement demandé.
• Étape 3 : conclure $n + 1 \geq 1$ donne $\dfrac{3}{n + 1} \leq 3$, donc $u_n \geq 2 - 3 = -1$ ; et $\dfrac{1}{n + 1} > 0$ donne $u_n < 2$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; -1 \leq u_n < 2}$$

2. $v_n = \dfrac{n\cos n}{n^2 + 1}$

• Étape 1 : une identité remarquable $n^2 + 1 - 2n = (n - 1)^2 \geq 0$.
• Étape 2 : majorer la valeur absolue $|\cos n| \leq 1$ et $n \geq 0$ :
• $$|v_n| = \dfrac{n\,|\cos n|}{n^2 + 1} \leq \dfrac{n}{n^2 + 1} \leq \dfrac{n}{2n} = \dfrac{1}{2} \quad (n \geq 1)$$
• Étape 3 : le cas $n = 0$ $v_0 = 0$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; |v_n| \leq \dfrac{1}{2}}$$

Exercice 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}$.

1. Montrer que, si $u_n \geq 1$ : $\;u_{n+1} - 1 = \dfrac{4u_n + 2}{u_n + 2}$ et $4 - u_{n+1} = \dfrac{4 - u_n}{u_n + 2}$.
2. En déduire par récurrence que $1 \leq u_n < 4$ pour tout $n$.
3. Montrer que $4 - u_{n+1} \leq \dfrac{1}{3}(4 - u_n)$, puis que $0 < 4 - u_n \leq 3\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.

Corrigé

1. Deux différences

• Étape 1 : même dénominateur $u_n \geq 1$, donc $u_n + 2 > 0$ :
• $$\begin{aligned} u_{n+1} - 1 &= \dfrac{5u_n + 4 - (u_n + 2)}{u_n + 2} = \dfrac{4u_n + 2}{u_n + 2} \\ 4 - u_{n+1} &= \dfrac{4(u_n + 2) - (5u_n + 4)}{u_n + 2} = \dfrac{4 - u_n}{u_n + 2} \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{u_{n+1} - 1 = \dfrac{4u_n + 2}{u_n + 2} \quad \text{et} \quad 4 - u_{n+1} = \dfrac{4 - u_n}{u_n + 2}}$$

2. $1 \leq u_n < 4$

• Étape 1 : initialisation $u_0 = 1 \in [1\,;\,4[$.
• Étape 2 : hérédité : Si $1 \leq u_n < 4$ : $4u_n + 2 > 0$ et $4 - u_n > 0$, avec $u_n + 2 > 0$. Donc $u_{n+1} - 1 > 0$ et $4 - u_{n+1} > 0$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; 1 \leq u_n < 4}$$

3. Un écart qui se divise par $3$

• Étape 1 : minorer le dénominateur $u_n \geq 1$ donne $u_n + 2 \geq 3$, donc $\dfrac{1}{u_n + 2} \leq \dfrac{1}{3}$ ; comme $4 - u_n > 0$ : $4 - u_{n+1} \leq \dfrac{1}{3}(4 - u_n)$.
• Étape 2 : récurrence $4 - u_0 = 3 = 3\left(\frac{1}{3}\right)^0$. Si $4 - u_n \leq 3\left(\frac{1}{3}\right)^n$, alors $4 - u_{n+1} \leq \frac{1}{3} \times 3\left(\frac{1}{3}\right)^n = 3\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; 0 < 4 - u_n \leq 3\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}$$

Exercice 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1} = u_n(2 - u_n)$.

1. Montrer que $1 - u_{n+1} = (1 - u_n)^2$ pour tout $n$.
2. En déduire par récurrence que $0 < u_n < 1$ pour tout $n$.
3. Montrer que $1 - u_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^n}$ pour tout $n$.

Corrigé

1. Une identité

• Étape 1 : développer : On remplace $u_{n+1}$ :
• $$1 - u_{n+1} = 1 - 2u_n + u_n^2 = (1 - u_n)^2$$
• Conclusion $$\boxed{1 - u_{n+1} = (1 - u_n)^2}$$

2. $0 < u_n < 1$

• Étape 1 : initialisation $u_0 = \dfrac{1}{2} \in \,]0\,;\,1[$.
• Étape 2 : hérédité : Si $0 < u_n < 1$, alors $0 < 1 - u_n < 1$, donc $0 < (1 - u_n)^2 < 1$, c'est-à-dire $0 < 1 - u_{n+1} < 1$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; 0 < u_n < 1}$$

3. Expression de $1 - u_n$

• Étape 1 : initialisation $1 - u_0 = \dfrac{1}{2} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^0}$.
• Étape 2 : hérédité : Si $1 - u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{2^n}$, alors $1 - u_{n+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2 \times 2^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n+1}}$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; u_n = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2^n}}$$

Exercice 4

Pour $n \geq 1$, on pose $H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n}$.

1. Montrer que $H_{2n} - H_n \geq \dfrac{1}{2}$ pour tout $n \geq 1$.
2. En déduire par récurrence que $H_{2^p} \geq 1 + \dfrac{p}{2}$ pour tout $p \in \mathbb{N}$.
3. Montrer que la suite $(H_n)$ n'est pas majorée.

Corrigé

1. $H_{2n} - H_n \geq \dfrac{1}{2}$

• Étape 1 : écrire la différence $H_{2n} - H_n = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k}$ : c'est une somme de $n$ termes.
• Étape 2 : minorer chaque terme : Pour $n + 1 \leq k \leq 2n$ : $\dfrac{1}{k} \geq \dfrac{1}{2n}$. En additionnant les $n$ inégalités :
• $$H_{2n} - H_n \geq n \times \dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2}$$
• Conclusion $$\boxed{\forall n \geq 1,\;\; H_{2n} - H_n \geq \dfrac{1}{2}}$$

2. $H_{2^p} \geq 1 + \dfrac{p}{2}$

• Étape 1 : initialisation $p = 0$ : $H_1 = 1 \geq 1$.
• Étape 2 : hérédité : Si $H_{2^p} \geq 1 + \frac{p}{2}$, la question 1 avec $n = 2^p$ donne :
• $$H_{2^{p+1}} = H_{2 \times 2^p} \geq H_{2^p} + \dfrac{1}{2} \geq 1 + \dfrac{p + 1}{2}$$
• Conclusion $$\boxed{\forall p \in \mathbb{N},\;\; H_{2^p} \geq 1 + \dfrac{p}{2}}$$

3. $(H_n)$ n'est pas majorée

• Étape 1 : dépasser un réel $M$ quelconque : Soit $M \in \mathbb{R}$. On choisit un entier $p > 2(M - 1)$ : alors $1 + \dfrac{p}{2} > M$.
• Étape 2 : conclure : Pour $n = 2^p$ : $H_n \geq 1 + \dfrac{p}{2} > M$.
• Conclusion $$\boxed{\begin{gathered} \forall M \in \mathbb{R},\;\; \exists n \geq 1,\;\; H_n > M \\ (H_n) \text{ n'est pas majorée} \end{gathered}}$$