L'addition vectorielle dans l'espace

Somme de deux vecteurs

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace $\mathcal{V}_3$. On pose $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{BC}$. La somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur $\vec{AC}$, et on écrit :

Relation de Chasles

Pour tous points $M$, $N$ et $P$ de l'espace, on a :

Propriétés algébriques de l'addition

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ de l'espace $\mathcal{V}_3$ :

Règle du parallélogramme

Si $ABCD$ est un parallélogramme de sommet $A$ (donc $\vec{AD} = \vec{BC}$), alors la somme de deux vecteurs partant d'un même point est la diagonale :

Simplifier une somme à l'aide de Chasles

Soit $ABCDA'B'C'D'$ un cube. On pose $\vec{t} = \vec{DC} + \vec{DA} + \vec{AA'}$. Montrer que $\vec{t} = \vec{DB'}$.

Applications de l'addition vectorielle

1. Soit $ABCDA'B'C'D'$ un cube. Déterminer les points $M$ et $N$ tels que $\vec{A'M} = \vec{B'C} + \vec{D'C} + \vec{CA}$ et $\vec{A'N} = \vec{B'C'} + \vec{AD} + \vec{D'A}$.

1. Soit $ABCD$ un tétraèdre, $H$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[AD]$. Montrer que $\vec{BD} + \vec{CA} + \vec{CD} + \vec{BA} = 4\,\vec{HK}$.

1. Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle. a) Montrer que $\vec{BF} + \vec{AD} + \vec{HG} = \vec{AG}$. b) Déterminer le point $M$ tel que $\vec{IJ} + \vec{GD} + \vec{EA} = \vec{IM}$.

Combinaison linéaire

Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l'espace. Tout vecteur de la forme $\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w}$, avec $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ réels, est appelé combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.