Notion de vecteur dans l'espace

Puisque toutes les propriétés de la géométrie plane restent valables dans tout plan de l'espace, alors la notion de vecteur vue dans le plan peut s'étendre dans l'espace.

Vecteur déterminé par un bipoint

Soient $A$ et $B$ deux points de l'espace .
Si $A \neq B$, le bipoint $(A\,;B)$ détermine un vecteur $\vec{AB}$ d'origine $A$ et d'extrémité $B$ tel que :

Vecteur nul

Si $A = B$, le vecteur $\vec{AB}$ est appelé vecteur nul, noté $\vec{0}$, et on écrit $\vec{AA} = \vec{0}$.

Représentant d'un vecteur

Soit $O$ et un point de l'espace $\mathcal{E}$ . Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace, il existe un unique point $M$ de l'espace tel que $\vec{OM} = \vec{u}$. L'ensemble de tous les vecteurs de l'espace est noté $\mathcal{V}_3$.

Vecteur opposé

Le vecteur $-\vec{u}$ est le vecteur de même direction et même norme que $\vec{u}$, mais de sens contraire. En particulier : $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Cette propriété se traduit géométriquement par :

Vecteurs égaux dans un parallélépipède

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle, $I$ le milieu de $[AE]$ et $J$ le milieu de $[BF]$.

Construction de points dans un parallélépipède

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle. On considère les points $I$ et $J$ tels que $\vec{BI} = \vec{DC}$ et $\vec{JD} = \vec{AC}$.

a) Construire les points $I$ et $J$.

b) Soient $O$ et $O'$ respectivement les centres des parallélogrammes $ABCD$ et $EFGH$. Montrer que $AOGO'$ est un parallélogramme.