Exercices corrigés : L'addition vectorielle dans l'espace

Exercice 1

Simplifier l'expression $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA}$.

Corrigé

Résolution (Chasles).

• $$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC},\quad \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{CA}$$
• $$\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}$$
• \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}

Exercice 2

Soit $ABCD$ un tétraèdre. $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[CD]$. Montrer que $\vec{IJ} = \tfrac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})$.

Corrigé

Démonstration.

• On écrit $\vec{IJ}$ en passant par $A$ puis $C$ :
• $$\vec{IJ} = \vec{IA} + \vec{AC} + \vec{CJ} \quad (1)$$
• Puis en passant par $B$ puis $D$ :
• $$\vec{IJ} = \vec{IB} + \vec{BD} + \vec{DJ} \quad (2)$$
• En additionnant $(1)$ et $(2)$ :
• $$2\vec{IJ} = (\vec{IA}+\vec{IB}) + \vec{AC} + \vec{BD} + (\vec{CJ}+\vec{DJ})$$
• $I$ milieu de $[AB]\Rightarrow \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$. $J$ milieu de $[CD]\Rightarrow \vec{CJ}+\vec{DJ}=\vec{0}$.
• $$2\vec{IJ} = \vec{AC} + \vec{BD}$$
• \vec{IJ} = \tfrac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})

Exercice 3

Dans un cube $ABCDEFGH$, montrer que $\vec{AC} + \vec{AF} + \vec{AH} = 2\,\vec{AG}$.

Corrigé

Démonstration.

• On exprime chaque diagonale de face dans la base $(\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})$ :
• $$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$$
• $$\vec{AF} = \vec{AB} + \vec{AE}$$
• $$\vec{AH} = \vec{AD} + \vec{AE}$$
• $$\vec{AC} + \vec{AF} + \vec{AH} = 2\vec{AB} + 2\vec{AD} + 2\vec{AE}$$
• Or la diagonale principale $\vec{AG} = \vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AE}$.
• \vec{AC} + \vec{AF} + \vec{AH} = 2\,\vec{AG}

Exercice 4 : Applications de l'addition vectorielle

1. Soit $ABCDA'B'C'D'$ un cube. Déterminer les points $M$ et $N$ tels que $\vec{A'M} = \vec{B'C} + \vec{D'C} + \vec{CA}$ et $\vec{A'N} = \vec{B'C'} + \vec{AD} + \vec{D'A}$.

1. Soit $ABCD$ un tétraèdre, $H$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[AD]$. Montrer que $\vec{BD} + \vec{CA} + \vec{CD} + \vec{BA} = 4\,\vec{HK}$.

1. Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle. a) Montrer que $\vec{BF} + \vec{AD} + \vec{HG} = \vec{AG}$. b) Déterminer le point $M$ tel que $\vec{IJ} + \vec{GD} + \vec{EA} = \vec{IM}$.

Corrigé

1) Détermination des points $M$ et $N$.

• Pour $M$ : appliquer Chasles terme à terme en partant de $A'$. $\vec{B'C} = \vec{A'D}$ (arêtes diagonales équivalentes), $\vec{D'C} = \vec{A'B}$, $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Puis regrouper.
• Pour $N$ : procéder de même en exploitant les égalités entre arêtes du cube.

2) Démonstration de l'égalité dans le tétraèdre.

• On regroupe deux à deux et on utilise que $H$ et $K$ sont des milieux : $\vec{BA} + \vec{CA} = 2\vec{HA}$ (propriété du milieu pour $H$ de $[BC]$).
• $$\vec{BD} + \vec{CD} = 2\vec{HD}$$
• $$\vec{BA} + \vec{CA} = 2\vec{HA}$$
• = $$\text{Somme totale} = 2\vec{HA} + 2\vec{HD} = 2(\vec{HA} + \vec{HD}) = 2 \cdot 2\vec{HK} = 4\vec{HK}$$
• \vec{BD} + \vec{CA} + \vec{CD} + \vec{BA} = 4\,\vec{HK}

3) Démonstration dans le parallélépipède.

• a) $\vec{BF} = \vec{AE}$, $\vec{HG} = \vec{EF}$ (arêtes parallèles). Donc la somme devient $\vec{AE} + \vec{AD} + \vec{EF}$.
• $$\vec{AE} + \vec{EF} = \vec{AF}, \quad \vec{AF} + \vec{AD} = \vec{AG}$$
• \vec{BF} + \vec{AD} + \vec{HG} = \vec{AG}