Exercices corrigés : Notion de vecteur dans l'espace

Exercice 1

Dans un parallélépipède $ABCDEFGH$, citer trois vecteurs égaux à $\vec{AB}$. Justifier.

Corrigé

Réponse.

• Dans un parallélépipède, les faces opposées sont des parallélogrammes.
• $ABCD$ parallélogramme $\Rightarrow\;\vec{AB} = \vec{DC}$.
• $ABFE$ parallélogramme $\Rightarrow\;\vec{AB} = \vec{EF}$.
• $EFGH$ parallélogramme $\Rightarrow\;\vec{EF} = \vec{HG}$.
• \vec{AB} = \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{HG}

Exercice 2

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$. Montrer que $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$ et que $\vec{OA} = \vec{CO}$.

Corrigé

Démonstration.

• Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : $O$ est donc le milieu de $[AC]$.
• $\vec{OA}$ et $\vec{OC}$ ont même direction, même norme, et des sens contraires.
• $$\vec{OA} = -\vec{OC} \;\Longleftrightarrow\; \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$$
• De plus, $\vec{CO} = -\vec{OC} = \vec{OA}$.
• \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0} \quad\text{et}\quad \vec{OA} = \vec{CO}

Exercice 3

$ABCD$ est un tétraèdre. Soient $I$ le milieu de $[AB]$, $K$ le milieu de $[AC]$ et $L$ le milieu de $[AD]$. Exprimer $\vec{IK}$ en fonction de $\vec{BC}$ et $\vec{IL}$ en fonction de $\vec{BD}$.

Corrigé

Résolution (théorème des milieux).

• Dans le triangle $ABC$, $I$ et $K$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$, donc $(IK)\parallel(BC)$ et $IK = \tfrac{1}{2}BC$.
• $$\vec{IK} = \tfrac{1}{2}\vec{BC}$$
• Dans le triangle $ABD$, $I$ et $L$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AD]$.
• $$\vec{IL} = \tfrac{1}{2}\vec{BD}$$
• \vec{IK} = \tfrac{1}{2}\vec{BC},\quad \vec{IL} = \tfrac{1}{2}\vec{BD}

Exercice 4 : Construction de points dans un parallélépipède

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle. On considère les points $I$ et $J$ tels que $\vec{BI} = \vec{DC}$ et $\vec{JD} = \vec{AC}$.

a) Construire les points $I$ et $J$.

b) Soient $O$ et $O'$ respectivement les centres des parallélogrammes $ABCD$ et $EFGH$. Montrer que $AOGO'$ est un parallélogramme.

Corrigé

Résolution.

• a) $\vec{BI} = \vec{DC}$ équivaut à dire que $BDCI$ est un parallélogramme (les bipoints $(B;I)$ et $(D;C)$ définissent le même vecteur).
• On reporte donc le vecteur $\vec{DC}$ à partir de $B$ pour obtenir $I$. De même, $J$ se construit à partir de $D$ en reportant $\vec{AC}$.
• b) $O$ est le milieu de $[AC] = [BD]$ (diagonales du parallélogramme $ABCD$), $O'$ est le milieu de $[EG] = [FH]$.
• $$\vec{AO} = \tfrac{1}{2}\vec{AC}, \quad \vec{O'G} = \tfrac{1}{2}\vec{EG}$$
• Or $\vec{AC} = \vec{EG}$ (faces opposées du parallélépipède), donc $\vec{AO} = \vec{O'G}$.
• \vec{AO} = \vec{O'G} \;\Longrightarrow\; AOGO' \text{ est un parallélogramme}