Exercices corrigés : Introduction et Généralités

Exercice 1

Vérifier que la fonction définie par $y(x) = e^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $y' - 2y = 0$ sur $\mathbb{R}$.

Indication

Calculez d'abord la dérivée $y'(x)$, puis remplacez dans l'équation.

Corrigé

Vérification

• Soit $y(x) = e^{2x}$. La fonction $y$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
• Calculons sa dérivée :
• $$ y'(x) = 2e^{2x} $$
• Remplaçons dans l'expression $y' - 2y$ :
• $$ y'(x) - 2y(x) = 2e^{2x} - 2(e^{2x}) = 0 $$
• Donc : La fonction $y(x) = e^{2x}$ est bien une solution de l'équation différentielle.

Exercice 2

Montrer que la fonction $y(x) = \sin(x)$ est solution de l'équation différentielle $y'' + y = 0$.

Corrigé

Vérification de l'ordre 2

• Soit $y(x) = \sin(x)$. Calculons les dérivées première et seconde.
• $$y'(x) = \cos(x)$$ $$y''(x) = -\sin(x)$$
• En remplaçant dans l'équation :
• $$ y''(x) + y(x) = -\sin(x) + \sin(x) = 0 $$
• Ainsi : La fonction $y(x) = \sin(x)$ est une solution de l'équation différentielle $y'' + y = 0$.