Branches infinies d'une courbe

Introduction

L'étude des branches infinies permet de comprendre le comportement d'une fonction lorsque ses variables ou ses valeurs deviennent infiniment grandes. Graphiquement, cela se traduit par la recherche de droites (asymptotes) dont la courbe représentative s'approche indéfiniment, ou par des branches paraboliques qui indiquent la direction globale de croissance de la courbe.

Visualisation : Algorithme des branches infinies

Voici l'arbre de décision complet permettant de déterminer la nature de la branche infinie. Les étapes se suivent du haut vers le bas :

Remarque : Asymptote oblique

Équivalence importante :

Exemple 1 : Branche parabolique de direction (Oy)

Soit la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(x) = x\sqrt{x} - 2x$.

Exemple 2 : Branche parabolique de direction la droite y = ax

Soit la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(x) = 2x + \sqrt{x}$.

Exemple 3 : Asymptote horizontale

Soit la fonction $f$ définie sur $D = \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \}$ par : $f(x) = \frac{2x^2 - x}{x^2 + 1}$.

Application résolue (Tous les cas de figure)

Déterminer la nature de la branche infinie pour chacune des fonctions suivantes :

1. $f_1(x) = \frac{2x + \sqrt{x}}{x + 1}$ sur $[0, +\infty[$ au voisinage de $+\infty$
2. $f_2(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$ sur $]2, +\infty[$ au voisinage de $2^+$
3. $f_3(x) = \sqrt{x + \sqrt{x}}$ sur $[0, +\infty[$ au voisinage de $+\infty$
4. $f_4(x) = x^2 - 3x\sqrt{x}$ sur $[0, +\infty[$ au voisinage de $+\infty$
5. $f_5(x) = x + \sqrt{x^2 - 4}$ sur $[2, +\infty[$ au voisinage de $+\infty$
6. $f_6(x) = 2x - \sqrt{x+1}$ sur $[-1, +\infty[$ au voisinage de $+\infty$