Partie 2 sur 5 du cours « Étude des fonctions » — 2ème Bac PC & SVT.
Introduction
La concavité décrit la manière dont la courbe $(C_f)$ fléchit localement par rapport à ses tangentes. Une courbe peut être convexe (les tangentes sont en dessous de la courbe) ou concave (les tangentes sont au-dessus de la courbe). Les points de transition où la courbe change de concavité sont appelés les points d'inflexion.
Convexité et Concavité d'une courbe
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
On dit que la courbe $(C_f)$ est convexe sur $I$ si elle est située au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$. Analytiquement, cela équivaut à : $\boxed{\forall x \in I, \quad f''(x) \ge 0}$ (la dérivée seconde est positive ou nulle).
On dit que la courbe $(C_f)$ est concave sur $I$ si elle est située en dessous de toutes ses tangentes sur $I$. Analytiquement, cela équivaut à : $\boxed{\forall x \in I, \quad f''(x) \le 0}$ (la dérivée seconde est négative ou nulle).
Visualisation : Pente, Vitesse et Accélération
Pour comprendre intuitivement les notions de concavité et de convexité, étudions le comportement de la pente (vitesse) et de la dérivée seconde (accélération) le long d'une courbe. Utilisez le graphique ci-dessous pour déplacer le point $M(x_0, f(x_0))$ et observer les variations.
Théorème : Point d'inflexion
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et soit $x_0 \in I$.
Si la dérivée seconde $f''$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors le point $\boxed{A(x_0, f(x_0))}$ est un point d'inflexion de la courbe $(C_f)$.
Interprétation géométrique : En un point d'inflexion, la tangente à la courbe $(C_f)$ traverse la courbe.
Remarques importantes
Si la dérivée seconde $f''$ s'annule en un point $x_0$ sans changer de signe, alors le point $A(x_0, f(x_0))$ n'est pas un point d'inflexion (la concavité reste la même de part et d'autre de $x_0$).
Si la dérivée première $f'$ s'annule et change de signe en $x_0$, la courbe admet un extremum local (maximum ou minimum). Si la dérivée première $f'$ s'annule en $x_0$ sans changer de signe, alors le point $A(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion à tangente horizontale.
Application résolue (Étude de concavité)
Étudier la concavité et déterminer les points d'inflexion de la courbe $(C_f)$ pour les fonctions suivantes :
Fonction 1 : $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ sur $\mathbb{R}$
Fonction 2 : $g(x) = 3x^5 - 5x^4 + 1$ sur $\mathbb{R}$