Exercices corrigés : Introduction et Forme algébrique

Exercice 1

Mettre sous forme algébrique le nombre complexe $z = (1 + 2i)^2$.

Indication

Utilisez l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et la propriété $i^2 = -1$.

Corrigé

Développer et simplifier

• Développement : En appliquant l'identité remarquable :
• $$z = 1^2 + 2 \times 1 \times 2i + (2i)^2$$ $$z = 1 + 4i + 4i^2$$
• Simplification : Comme $i^2 = -1$, on obtient :
• $$z = 1 + 4i + 4(-1)$$ $$z = 1 + 4i - 4$$ $$z = -3 + 4i$$
• Conclusion : La forme algébrique de $z$ est $-3 + 4i$.

Exercice 2

Trouver les réels $x$ et $y$ tels que : $x - 2 + i(y + 1) = 0$.

Indication

Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.

Corrigé

Résoudre le système

• Équations : On pose le système d'équations en annulant les deux parties :
• $$x - 2 = 0$$ $$y + 1 = 0$$
• Conclusion : On trouve immédiatement $x = 2$ et $y = -1$.

Exercice 3

• Soit le nombre complexe $z = (x + i)(3x - 2 - ix)$ avec $x \in \mathbb{R}$. Déterminer le réel $x$ dans chacun des cas :
• $z$ est un réel.
• $z$ est un imaginaire pur.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $(2 - i)Z + 1 = 3i - Z$.

Indication

Développez d'abord $z$ pour identifier ses parties réelle et imaginaire. Pour l'équation, regroupez les termes en $Z$ d'un côté et utilisez le conjugué du dénominateur.

Corrigé

1. a. Déterminer $x$ tel que $z$ soit réel

• Développement : Développons et simplifions $z$ pour trouver ses parties réelle et imaginaire :
• $$z = (x + i)(3x - 2 - ix)$$ $$z = 3x^2 - 2x - ix^2 + 3ix - 2i + x$$ $$z = (3x^2 - x) + i(-x^2 + 3x - 2)$$
• Condition de réalité $z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle :
• $$-x^2 + 3x - 2 = 0 \iff x^2 - 3x + 2 = 0$$
• Résolution : Les racines de cette équation du second degré sont :
• $$x = 1 \quad \text{ou} \quad x = 2$$
• Conclusion $z$ est réel si et seulement si $x = 1$ ou $x = 2$.

1. b. Déterminer $x$ tel que $z$ soit un imaginaire pur

• Condition d'imaginaire pur $z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire est non nulle :
• $$3x^2 - x = 0 \iff x(3x - 1) = 0 \iff x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \frac{1}{3}$$
• Vérification : On vérifie que pour ces deux valeurs, la partie imaginaire $-x^2 + 3x - 2$ n'est pas nulle (elle s'annule uniquement pour $x=1$ ou $x=2$).
• Conclusion $z$ est imaginaire pur si et seulement si $x = 0$ ou $x = \frac{1}{3}$.

2. Résoudre l'équation dans $\mathbb{C}$

• Regroupement : On isole les termes en $Z$ d'un côté de l'égalité :
• $$(2 - i)Z + Z = 3i - 1$$ $$(3 - i)Z = -1 + 3i$$
• Division et conjugué : On divise et on multiplie par le conjugué du dénominateur ($3 + i$) :
• $$Z = \frac{-1 + 3i}{3 - i}$$ $$Z = \frac{(-1 + 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)}$$ $$Z = \frac{-3 - i + 9i + 3i^2}{3^2 - i^2}$$ $$Z = \frac{-3 + 8i - 3}{9 + 1}$$ $$Z = \frac{-6 + 8i}{10}$$ $$Z = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$$
• Conclusion : L'équation admet pour unique solution $Z = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$.