Exercices corrigés : Orthogonalité de deux droites et représentation paramétrique
2 exercices sur « Orthogonalité de deux droites et représentation paramétrique », partie 2 du cours « Produit scalaire dans l'espace » — 2ème Bac PC & SVT.
Exercice 1
Soit $(D)$ la droite passant par $A(2, 1, 3)$ et $B(1, 1, -2)$. 1. Donner une représentation paramétrique de $(D)$. 2. Le point $E(5, 1, 18)$ appartient-il à $(D)$ ?
Corrigé
1. Donner une représentation paramétrique de $(D)$.
Puisque $(D)$ passe par $A$ et $B$, alors $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(D)$
On calcule $\overrightarrow{AB}(1-2, 1-1, -2-3) = \overrightarrow{AB}(-1, 0, -5)$
On a $(D)$ passe par $A(2, 1, 3)$ avec $\vec{u}(-1, 0, -5)$
Donc $(D): \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 \\ z = 3 - 5t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$
2. Le point $E(5, 1, 18)$ appartient-il à $(D)$ ?
On vérifie $y = 1$ ✓ (condition satisfaite)
De $x = 2 - t = 5$, on tire $t = -3$
On vérifie $z = 3 - 5(-3) = 3 + 15 = 18$ ✓
Donc $E \in (D)$ (pour $t = -3$).
Exercice 2
Soient les droites : - $(D_1): \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 3 - t \end{cases} / t \in \mathbb{R}$ - $(D_2): \begin{cases} x = 2 + s \\ y = 1 - 2s \\ z = -1 + 4s \end{cases} / s \in \mathbb{R} $
Montrer que $(D_1) \perp (D_2)$.
Corrigé
Montrer que $(D_1) \perp (D_2)$.
On lit $\vec{u_1}(2, -1, -1)$ est un vecteur directeur de $(D_1)$
On lit $\vec{u_2}(1, -2, 4)$ est un vecteur directeur de $(D_2)$