Exercices corrigés : Forme analytique du produit vectoriel

Exercice 1

Calculer $\vec{u} \wedge \vec{v}$ puis vérifier l'orthogonalité.

$\vec{u}(1, -2, 3)$ et $\vec{v}(4, 0, -1)$.

Corrigé

Calculer $\vec{u}(1,-2,3) \wedge \vec{v}(4,0,-1)$.

• On applique la formule : $\vec{u} \wedge \vec{v} = (b c' - b'c,\; -(ac'-a'c),\; ab'-a'b)$
• $$\vec{u} \wedge \vec{v} = \bigl((-2)(-1) - (0)(3),\; -((1)(-1)-(4)(3)),\; (1)(0)-(-2)(4)\bigr)$$
• On calcule $= (2 - 0,\; -(-1-12),\; 0+8) = (2, 13, 8)$
• Vérification $\vec{u} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v}) = 1(2) + (-2)(13) + 3(8) = 2 - 26 + 24 = 0$ ✓
• Donc $\vec{u} \wedge \vec{v} = (2, 13, 8)$.

Exercice 2

Soient $\vec{u}(1, 2, -1)$ et $\vec{v}(3, -1, 2)$.
1. Calculer $\vec{u} \wedge \vec{v}$.
2. Calculer $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$.

Corrigé

1. Calculer $\vec{u}(1,2,-1) \wedge \vec{v}(3,-1,2)$.

• On a composante $x$ : $2 \times 2 - (-1)\times(-1) = 4 - 1 = 3$
• Et composante $y$ : $-(1 \times 2 - 3 \times(-1)) = -(2 + 3) = -5$
• Et composante $z$ : $1 \times(-1) - 3 \times 2 = -1 - 6 = -7$
• Donc $\vec{u} \wedge \vec{v} = (3, -5, -7)$.

2. Calculer $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$.

• $$\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 25 + 49} = \sqrt{83}$$
• Donc $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \sqrt{83}$.

Exercice d'application

Calculer le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ avec $\vec{u}(-1, 3, 0)$ et $\vec{v}(2, -6, 1)$.

Corrigé

Calculer $\vec{u}(-1, 3, 0) \wedge \vec{v}(2, -6, 1)$.

• On applique la formule analytique avec $a=-1$, $b=3$, $c=0$, $a'=2$, $b'=-6$, $c'=1$
• Composante $x$ $bc' - b'c = 3 \times 1 - (-6) \times 0 = 3$
• Composante $y$ $-(ac' - a'c) = -((-1) \times 1 - 2 \times 0) = -(-1) = 1$
• Composante $z$ $ab' - a'b = (-1) \times (-6) - 2 \times 3 = 6 - 6 = 0$
• Donc $\vec{u} \wedge \vec{v} = (3, 1, 0) = 3\vec{i} + \vec{j}$. Vérification : $\vec{u} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v}) = (-1)(3) + 3(1) + 0(0) = 0$ ✓