Intégrale d'une fonction continue sur un segment

Introduction

L'intégrale est un outil fondamental en mathématiques qui permet de calculer des aires, des volumes, et de résoudre de nombreux problèmes en physique. Dans cette partie, nous allons définir l'intégrale d'une fonction continue sur un segment $[a, b]$ à partir de la notion de primitive.

Intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a, b]$.

Le nombre $F(b) - F(a)$ est appelé intégrale de $f$ de $a$ à $b$ et on écrit :
$$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)}$$

Le nombre $\int_a^b f(x)\,dx$ ne dépend pas du choix de la primitive $F$ de $f$.

Notation

• Le symbole $\int$ s'appelle le signe intégral
• $a$ est la borne inférieure et $b$ est la borne supérieure
• $f(x)$ est l'intégrande
• $dx$ indique la variable d'intégration

Exemple de calcul

Calculons $\int_0^1 \sqrt{x + 1}\,dx$.

La fonction $x \mapsto \sqrt{x + 1}$ est continue sur $[0, 1]$.

On remarque que $(x + 1)' = 1$, donc une primitive de $\sqrt{x+1} = (x+1)^{\frac{1}{2}}$ est $\frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}}$.

$$\int_0^1 \sqrt{x + 1}\,dx = \left[\frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1 = \frac{2}{3}(2^{\frac{3}{2}} - 1) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1)$$

Variable muette

Dans l'écriture $\int_a^b f(x)\,dx$, on peut remplacer la variable $x$ par n'importe quelle autre lettre. C'est une variable muette :
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(y)\,dy = \int_a^b f(t)\,dt = \ldots$$

Tableau des primitives usuelles

Voici les primitives des fonctions usuelles (avec $n \neq -1$ et $a \neq 0$) :

Tableau des primitives composees

Soit $u$ une fonction dérivable dont la dérivée $u'$ est continue :

Application

Calculer les intégrales suivantes :
1. $\int_0^2 (x + 4)\,dx$
2. $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$
3. $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x)\,dx$

Exercice

Calculer les intégrales suivantes :
1. $I_1 = \int_{-1}^{1} (2x^3 - 5x^2 + 2)\,dx$
2. $I_2 = \int_1^2 \left(\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}\right)dx$
3. $I_3 = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{x+1}\right)dx$