Propriétés de l'intégrale et relation de Chasles

Introduction

Les propriétés de l'intégrale permettent de simplifier les calculs et de comparer des intégrales. La relation de Chasles est particulièrement utile pour décomposer une intégrale en plusieurs morceaux.

Propriétés fondamentales

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tous $a$, $b$ et $c$ de $I$ :

1. $\int_a^a f(x)\,dx = 0$

1. $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$

1. Relation de Chasles : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

Visualisation interactive de la relation de Chasles

La relation de Chasles permet de « découper » une intégrale en deux morceaux. Quelle que soit la position du point $c$ entre $a$ et $b$, la somme des deux aires reste constante et égale à l'aire totale.

Exemple avec la relation de Chasles

Calculons $\int_{-3}^2 |x|\,dx$.

On utilise la relation de Chasles en $x = 0$ (point où l'expression de $|x|$ change) :
$$\int_{-3}^2 |x|\,dx = \int_{-3}^0 |x|\,dx + \int_0^2 |x|\,dx = \int_{-3}^0 (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx$$
$$\int_{-3}^2 |x|\,dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-3}^0 + \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 0 - \left(-\frac{9}{2}\right) + \frac{4}{2} - 0 = \frac{9}{2} + 2 = \frac{13}{2}$$

Linéarité de l'intégrale

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, b]$ et $k \in \mathbb{R}$ :

1. $\int_a^b (f(x) + g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$

1. $\int_a^b k \cdot f(x)\,dx = k \int_a^b f(x)\,dx$

Intégrale et ordre

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ :

1. Positivité : Si $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in [a, b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$

1. Comparaison : Si $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$

Application de l'intégrale et ordre

1. Montrer que $\int_1^2 \ln(x^2 + 1)\,dx \geq 0$.
2. Montrer que $-\frac{1}{2} \leq \int_1^2 \frac{\sin(x)}{x^2}\,dx \leq \frac{1}{2}$.

Application avec valeur absolue

Calculer les intégrales suivantes :
1. $\int_{-1}^{1} \frac{2|x|}{x^2+1}\,dx$
2. $\int_{-1}^{5} |x^2 - 4x|\,dx$

Exercice : Linéarité et combinaison d'intégrales

On pose $K = \int_0^{\ln(2)} \frac{e^t - 1}{e^t + 1}\,dt$ et $L = \int_0^{\ln(2)} \frac{1}{e^t + 1}\,dt$.

Calculer $K + L$ et $K + 2L$, puis en déduire les valeurs de $K$ et $L$.