Exercices corrigés : Intégrale d'une fonction continue sur un segment

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :
1. $I_4 = \int_0^4 x\sqrt{1 + x^2}\,dx$
2. $I_5 = \int_0^{\ln 3} e^x\sqrt{e^x + 1}\,dx$

Indication

Pour $I_4$, remarquer que $(1+x^2)' = 2x$. Pour $I_5$, remarquer que $(e^x + 1)' = e^x$.

Corrigé

1. Calculer $I_4 = \int_0^4 x\sqrt{1 + x^2}\,dx$

• On remarque que $(1+x^2)' = 2x$, donc $x = \frac{1}{2}(1+x^2)'$
• Ainsi $x\sqrt{1+x^2} = \frac{1}{2}(1+x^2)'(1+x^2)^{\frac{1}{2}}$
• Une primitive est $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}$
• $$I_4 = \left[\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\right]_0^4 = \frac{1}{3}(17^{\frac{3}{2}} - 1)$$
• Donc $I_4 = \frac{17\sqrt{17} - 1}{3}$

2. Calculer $I_5 = \int_0^{\ln 3} e^x\sqrt{e^x + 1}\,dx$

• On remarque que $(e^x + 1)' = e^x$
• Ainsi $e^x\sqrt{e^x+1} = (e^x+1)'(e^x+1)^{\frac{1}{2}}$
• Une primitive est $\frac{2}{3}(e^x+1)^{\frac{3}{2}}$
• $$I_5 = \left[\frac{2}{3}(e^x+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^{\ln 3} = \frac{2}{3}\left((3+1)^{\frac{3}{2}} - (1+1)^{\frac{3}{2}}\right)$$
• On simplifie $= \frac{2}{3}(8 - 2\sqrt{2}) = \frac{16 - 4\sqrt{2}}{3}$
• Donc $I_5 = \frac{4(4 - \sqrt{2})}{3}$

Exercice 2

Calculer l'intégrale $I_6 = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(x) \sin^5(x)\,dx$.

Indication

Remarquer que $(\sin x)' = \cos x$.

Corrigé

Calculer $I_6 = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(x) \sin^5(x)\,dx$

• On remarque que $(\sin x)' = \cos x$
• Donc $\cos(x)\sin^5(x) = (\sin x)' \cdot (\sin x)^5$
• Une primitive est $\frac{\sin^6(x)}{6}$
• $$I_6 = \left[\frac{\sin^6(x)}{6}\right]_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{6}\left(\sin^6\left(\frac{\pi}{6}\right) - 0\right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{64}$$
• Donc $I_6 = \frac{1}{384}$

Exercice 3

Calculer les intégrales suivantes :
1. $I_1 = \int_{-1}^{1} (2x^3 - 5x^2 + 2)\,dx$
2. $I_2 = \int_1^2 \left(\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}\right)dx$
3. $I_3 = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{x+1}\right)dx$

Corrigé

1. Calculer $I_1 = \int_{-1}^{1} (2x^3 - 5x^2 + 2)\,dx$

• On a une primitive de $2x^3 - 5x^2 + 2$ est $\frac{x^4}{2} - \frac{5x^3}{3} + 2x$
• $$I_1 = \left[\frac{x^4}{2} - \frac{5x^3}{3} + 2x\right]_{-1}^{1}$$
• On calcule : En $x=1$ : $\frac{1}{2} - \frac{5}{3} + 2 = \frac{3-10+12}{6} = \frac{5}{6}$
• Et : En $x=-1$ : $\frac{1}{2} + \frac{5}{3} - 2 = \frac{3+10-12}{6} = \frac{1}{6}$
• Donc $I_1 = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$

2. Calculer $I_2 = \int_1^2 \left(\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}\right)dx$

• On a $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ et $\frac{2}{x^3} = 2x^{-3}$
• Donc une primitive est $-x^{-1} + x^{-2} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$
• $$I_2 = \left[-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right]_1^2 = \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) - (-1 + 1) = -\frac{1}{4}$$
• Donc $I_2 = -\frac{1}{4}$

3. Calculer $I_3 = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{x+1}\right)dx$

• On a une primitive de $1 - \frac{1}{x+1}$ est $x - \ln(x+1)$
• $$I_3 = [x - \ln(x+1)]_0^1 = (1 - \ln 2) - (0 - \ln 1) = 1 - \ln 2$$
• Donc $I_3 = 1 - \ln 2$