Exercices corrigés : Propriétés de l'intégrale et relation de Chasles

Exercice 1

On considère $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(3x)\cos(x)\,dx$ et $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(3x)\sin(x)\,dx$.

1. Vérifier que $\cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x) = \cos(2x)$.
2. Vérifier que $\cos(3x)\cos(x) - \sin(3x)\sin(x) = \cos(4x)$.
3. Calculer $I + J$ et $I - J$, puis en déduire $I$ et $J$.

Indication

Utiliser les formules $\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ et $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.

Corrigé

1. Vérifier que $\cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x) = \cos(2x)$

• On sait que $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
• Avec $a = 3x$ et $b = x$, on a $\cos(3x - x) = \cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x)$
• Donc $\cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x) = \cos(2x)$ ✓

2. Vérifier que $\cos(3x)\cos(x) - \sin(3x)\sin(x) = \cos(4x)$

• On sait que $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
• Avec $a = 3x$ et $b = x$, on a $\cos(3x + x) = \cos(3x)\cos(x) - \sin(3x)\sin(x)$
• Donc $\cos(3x)\cos(x) - \sin(3x)\sin(x) = \cos(4x)$ ✓

3. Calculer $I + J$ et $I - J$, puis en déduire $I$ et $J$

• On a $I + J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x)\,dx = \left[\frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}$
• Et $I - J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(4x)\,dx = \left[\frac{\sin(4x)}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{0}{4} = 0$
• Du système $\begin{cases} I + J = \frac{1}{2} \\ I - J = 0 \end{cases}$, on déduit $I = J$
• Donc $I = J = \frac{1}{4}$

Exercice 2

Calculer $\int_0^{2} |e^{-x+1} - 1|\,dx$.

Indication

Étudier le signe de $e^{-x+1} - 1$ sur $[0, 2]$. Il s'annule quand $-x + 1 = 0$.

Corrigé

Calculer $\int_0^{2} |e^{-x+1} - 1|\,dx$

• On étudie $e^{-x+1} - 1 = 0 \Leftrightarrow e^{-x+1} = 1 \Leftrightarrow -x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
• Sur $[0, 1]$ $-x + 1 \geq 0$ donc $e^{-x+1} \geq 1$, ainsi $|e^{-x+1} - 1| = e^{-x+1} - 1$
• Sur $[1, 2]$ $-x + 1 \leq 0$ donc $e^{-x+1} \leq 1$, ainsi $|e^{-x+1} - 1| = 1 - e^{-x+1}$
• $$\int_0^{1} (e^{-x+1} - 1)\,dx = [-e^{-x+1} - x]_0^1 = (-1 - 1) - (-e - 0) = e - 2$$ $$\int_1^{2} (1 - e^{-x+1})\,dx = [x + e^{-x+1}]_1^2 = (2 + e^{-1}) - (1 + 1) = \frac{1}{e}$$
• Donc $\int_0^{2} |e^{-x+1} - 1|\,dx = e - 2 + \frac{1}{e} = e + \frac{1}{e} - 2$

Exercice : Linéarité et combinaison d'intégrales

On pose $K = \int_0^{\ln(2)} \frac{e^t - 1}{e^t + 1}\,dt$ et $L = \int_0^{\ln(2)} \frac{1}{e^t + 1}\,dt$.

Calculer $K + L$ et $K + 2L$, puis en déduire les valeurs de $K$ et $L$.

Indication

Remarquer que $\frac{e^t - 1}{e^t + 1} + \frac{1}{e^t + 1} = \frac{e^t}{e^t + 1}$.

Corrigé

Calculer $K + L$

• On a $K + L = \int_0^{\ln(2)} \left(\frac{e^t - 1}{e^t + 1} + \frac{1}{e^t + 1}\right)dt = \int_0^{\ln(2)} \frac{e^t}{e^t + 1}\,dt$
• Or $\frac{e^t}{e^t + 1} = \frac{(e^t + 1)'}{e^t + 1}$, donc une primitive est $\ln(e^t + 1)$
• $$K + L = [\ln(e^t + 1)]_0^{\ln(2)} = \ln(3) - \ln(2) = \ln\left(\frac{3}{2}\right)$$
• Donc $K + L = \ln\left(\frac{3}{2}\right)$

Calculer $K + 2L$

• On a $K + 2L = \int_0^{\ln(2)} \left(\frac{e^t - 1}{e^t + 1} + \frac{2}{e^t + 1}\right)dt = \int_0^{\ln(2)} \frac{e^t + 1}{e^t + 1}\,dt = \int_0^{\ln(2)} 1\,dt$
• $$K + 2L = [t]_0^{\ln(2)} = \ln(2)$$
• Donc $K + 2L = \ln(2)$

En déduire $K$ et $L$

• On a le système $\begin{cases} K + L = \ln\left(\frac{3}{2}\right) \\ K + 2L = \ln(2) \end{cases}$
• Par soustraction $L = \ln(2) - \ln\left(\frac{3}{2}\right) = \ln\left(\frac{2 \cdot 2}{3}\right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right)$
• On en déduit $K = \ln\left(\frac{3}{2}\right) - \ln\left(\frac{4}{3}\right) = \ln\left(\frac{9}{8}\right)$
• Donc $K = \ln\left(\frac{9}{8}\right)$ et $L = \ln\left(\frac{4}{3}\right)$