1. Dérivabilité en un point

Introduction

L'étude de la dérivabilité en un point permet de définir la notion de tangente à une courbe. Elle permet d'approcher localement une fonction par une fonction affine simple.

Définition : Nombre dérivé en un point

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $a$.

On dit que $f$ est dérivable au point $a$ si la limite suivante existe et est un réel :
$$\boxed{f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}}$$

• Le réel $f'(a)$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$.

Propriété : Dérivabilité et Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant le point $a$.

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.

$$\boxed{f \text{ est dérivable en } a \implies f \text{ est continue en } a}$$

• Attention (Réciproque fausse) : La réciproque est fausse. Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable. Par exemple, la fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable (elle présente un point anguleux).

Propriété : Interprétation géométrique - Équation de la tangente

Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe représentative $(C_f)$ admet au point $A(a, f(a))$ une tangente $(T)$ non verticale.

• Le nombre dérivé $f'(a)$ représente le coefficient directeur (la pente) de cette tangente.
• L'équation cartésienne de la tangente $(T)$ est :
$$\boxed{(T) : y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$

Exemple d'application

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$ et $a = 3$.

1. Calculons le nombre dérivé $f'(3)$ :
$$\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} &= \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \\ &= \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} \\ &= \lim_{x \to 3} (x + 3) \\ &= 6 \end{aligned}$$
Donc $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3) = 6$.

2. Déterminons l'équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse $3$ (avec $f(3) = 9$) :
$$\begin{aligned} y &= f'(3)(x - 3) + f(3) \\ &= 6(x - 3) + 9 \\ &= 6x - 9 \end{aligned}$$

Illustration interactive : La tangente comme limite et vitesse de croissance

Utilisez le module interactif ci-dessous pour observer comment la droite sécante (AB) s'approche de la tangente en A lorsque la distance $h$ tend vers 0. La pente de la tangente représente la vitesse instantanée de croissance de la fonction.

Application : Calculs de taux d'accroissement et tangentes

Étudiez la dérivabilité de la fonction au point $a$ indiqué et déterminez l'équation de la tangente $(T)$ en ce point :

• Cas 1 : $f(x) = 2x^2 - 3x$ en $a = 1$

• Cas 2 : $g(x) = \frac{2}{x}$ en $a = 2$

• Cas 3 : $h(x) = \sqrt{x+1}$ en $a = 3$