2. Dérivabilité à droite et à gauche

Introduction

Certaines fonctions ne sont pas définies de la même manière à droite et à gauche d'un point (ex: fonctions définies par morceaux, valeur absolue). Il est alors nécessaire d'étudier séparément les limites du taux de variation à droite et à gauche.

Définition : Dérivabilité latérale

• Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $[a, a + r[$.
On dit que $f$ est dérivable à droite en $a$ si la limite suivante existe et est réelle :
$$\boxed{f'_d(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}}$$
Le réel $f'_d(a)$ est le nombre dérivé à droite en $a$.

• Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a - r, a]$.
On dit que $f$ est dérivable à gauche en $a$ si la limite suivante existe et est réelle :
$$\boxed{f'_g(a) = \lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}}$$
Le réel $f'_g(a)$ est le nombre dérivé à gauche en $a$.

Théorème : Raccordement de la dérivabilité

Une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $a$ avec égalité des nombres dérivés :
$$\boxed{f \text{ est dérivable en } a \iff f'_d(a) = f'_g(a)}$$

Propriété : Demi-tangentes

• Si $f$ est dérivable à droite en $a$, la courbe $(C_f)$ admet au point $A(a, f(a))$ une demi-tangente à droite $(T_d)$ d'équation :
$$(T_d) : y = f'_d(a)(x-a) + f(a) \quad (x \ge a)$$

• Si $f$ est dérivable à gauche en $a$, la courbe $(C_f)$ admet une demi-tangente à gauche $(T_g)$ d'équation :
$$(T_g) : y = f'_g(a)(x-a) + f(a) \quad (x \le a)$$

Exemple : Étude de la dérivabilité et demi-tangentes en un raccordement

Soit la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$ par :
$$\begin{cases} f(x) = x^2 - x + 2 & \text{si } x \ge 1 \\ f(x) = 2\sqrt{x} & \text{si } 0 \le x < 1 \end{cases}$$

Étudions la dérivabilité de $f$ au point de raccordement $a = 1$ :

• Continuité en $1$ :
On a $f(1) = 1^2 - 1 + 2 = 2$.
Calculons la limite à gauche en $1$ :
$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 2\sqrt{x} = 2$$
Puisque $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$, la fonction $f$ est continue en $1$.

• Dérivabilité à droite en $1$ ($x > 1$) :
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x^2 - x + 2) - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} x = 1$$
Donc $f$ est dérivable à droite en $1$ et $f'_d(1) = 1$.
La courbe $(C_f)$ admet en $A(1,2)$ une demi-tangente à droite $(T_d)$ d'équation :
$$(T_d) : y = 1(x-1) + 2 \implies \boxed{(T_d) : y = x + 1 \quad (x \ge 1)}$$

• Dérivabilité à gauche en $1$ ($0 \le x < 1$) :
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2\sqrt{x} - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2}{\sqrt{x}+1} = \frac{2}{2} = 1$$
Donc $f$ est dérivable à gauche en $1$ et $f'_g(1) = 1$.
La courbe $(C_f)$ admet en $A(1,2)$ une demi-tangente à gauche $(T_g)$ d'équation :
$$(T_g) : y = 1(x-1) + 2 \implies \boxed{(T_g) : y = x + 1 \quad (x \le 1)}$$

• Raccordement et conclusion :
Puisque $f'_d(1) = f'_g(1) = 1$, la fonction $f$ est dérivable en $1$ et son nombre dérivé est $f'(1) = 1$.
Les deux demi-tangentes $(T_d)$ et $(T_g)$ ont la même pente et se raccordent pour former une tangente unique $(T) : y = x + 1$ au point $A(1, 2)$.

Propriété : Point anguleux

• Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$, la fonction $f$ n'est pas dérivable en $a$. Les demi-tangentes ont des directions différentes et la courbe présente un point anguleux au point $A(a, f(a))$.

Exemple d'étude : Fonction valeur absolue (Point anguleux)

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = |x-1|$ et étudions la dérivabilité en $a = 1$.

Pour exprimer la fonction sans la valeur absolue, dressons d'abord le tableau de signes de l'expression $x - 1$ :

Illustration interactive : Demi-tangentes et Raccordements

Observez ci-dessous comment les demi-tangentes à gauche et à droite se raccordent de manière lisse (dérivable) ou forment un angle pointu (point anguleux, non dérivable) :

Application

Étudiez la dérivabilité des fonctions suivantes au point $a$ proposé et donnez l'interprétation géométrique correspondante :

• Cas 1 : $f(x) = |x^2 - 4|$ au point $a = 2$

• Cas 2 : $\begin{cases} g(x) = x^2 \quad ; \ x \le 1 \\ g(x) = 2x - 1 \quad ; \ x > 1 \end{cases}$ au point $a = 1$

Propriété : Interprétations géométriques particulières (Pente nulle ou infinie)

Illustration interactive : Tangentes horizontales et verticales

Sélectionnez l'un des 5 cas ci-dessous pour voir l'allure de la courbe $(C_f)$ et le sens de sa demi-tangente en $A$ :

Application : Demi-tangentes verticales et horizontales

Pour chacune des fonctions suivantes, étudier la dérivabilité à droite ou à gauche en $a$, et préciser la nature géométrique de la demi-tangente en $A(a, f(a))$.

Cas 1 : $f(x) = \sqrt{x-3}$, en $a = 3$

Cas 2 : $f(x) = (x+2)\sqrt{x+2}$, en $a = -2$

Cas 3 : $f(x) = \sqrt{16-x^2}$, en $a = 4$