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Exercices corrigés : 2. Limites Usuelles

2 exercices sur « 2. Limites Usuelles », partie 2 du cours « Fonctions Exponentielles » — 2ème Bac Sciences Économiques.

Exercice 1 : Série d'approfondissement de 21 limites types du Bac

Calculer les 21 limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(1 + e^{-x}\right)$
$\lim_{x \to -\infty} e^{x^2 + 2x}$
$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - e^x)$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x} - 3e^x + 1}{e^x + x^2}$
$\lim_{x \to -\infty} (x^4 + 3x^2)e^x$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{5x} - 1}{3x}$

$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2} - 1}{x^2}$
$\lim_{x \to +\infty} x^2(e^{1/x} - 1)$
$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} e^{1/x}$

$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - e^{-2x}}{x}$
$\lim_{x \to 1} \dfrac{e^x - e}{x - 1}$
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{x}$

$\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2)$
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{\sqrt{x}}$
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x} + 3}{e^x + x}$

$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 2x)e^x$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{4x} - 1}{x}$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - e^x}{x}$

$\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 1)$
$\lim_{x \to 0^+} x e^{1/x}$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2} - 1}{x}$

Indication

Identifier la forme de chaque limite, puis appliquer la méthode appropriée : composition, factorisation par la puissance $x^n$, changement de variable $X = 1/x$ ou $X = \sqrt{x}$, ou taux d'accroissement usuel.

Corrigé

1. $\lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(1 + e^{-x}\right)$

Calcul par composition $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(1 + e^{-x}\right) &= 0 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 \implies \lim_{x \to +\infty} (1 + e^{-x}) = 1 \text{ et } \lim_{X \to 1} \ln X = 0\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(1 + e^{-x}\right) = 0}$$

2. $\lim_{x \to -\infty} e^{x^2 + 2x}$

Changement de variable et composition : On pose $X = x^2 + 2x = x(x+2)$. Quand $x \to -\infty$, $X \to +\infty$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} e^{x^2 + 2x} &= \lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to -\infty} (x^2+2x) = +\infty \text{ et } \lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} e^{x^2 + 2x} = +\infty}$$

3. $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - e^x)$

Factorisation par $x^3$ $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} (x^3 - e^x) &= \lim_{x \to +\infty} x^3 \left( 1 - \dfrac{e^x}{x^3} \right) = -\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty \text{ et } \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^3} = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} (x^3 - e^x) = -\infty}$$

4. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x} - 3e^x + 1}{e^x + x^2}$

Factorisation par les termes dominants $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x} - 3e^x + 1}{e^x + x^2} &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x}(1 - 3e^{-x} + e^{-2x})}{e^x(1 + x^2 e^{-x})} \\ &= \lim_{x \to +\infty} e^x \cdot \dfrac{1 - 3e^{-x} + e^{-2x}}{1 + x^2 e^{-x}} = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty, \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 \text{ et } \lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = 0\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x} - 3e^x + 1}{e^x + x^2} = +\infty}$$

5. $\lim_{x \to -\infty} (x^4 + 3x^2)e^x$

Développement et croissance comparée $$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} (x^4 + 3x^2)e^x &= \lim_{x \to -\infty} (x^4 e^x + 3x^2 e^x) = 0 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to -\infty} x^4 e^x = 0 \text{ et } \lim_{x \to -\infty} x^2 e^x = 0\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} (x^4 + 3x^2)e^x = 0}$$

6. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{5x} - 1}{3x}$

Changement de variable $X = 5x$ : On pose $X = 5x \iff x = \dfrac{X}{5}$. Quand $x \to 0$, $X \to 0$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{5x} - 1}{3x} &= \lim_{X \to 0} \dfrac{5}{3} \times \dfrac{e^X - 1}{X} = \dfrac{5}{3} \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to 0} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{5x} - 1}{3x} = \dfrac{5}{3}}$$

7. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2} - 1}{x^2}$

Changement de variable $X = x^2 \to 0^+$ : On pose $X = x^2$. Quand $x \to 0$, $X \to 0^+$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2} - 1}{x^2} &= \lim_{X \to 0^+} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to 0^+} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2} - 1}{x^2} = 1}$$

8. $\lim_{x \to +\infty} x^2(e^{1/x} - 1)$

Changement de variable $X = 1/x \to 0^+$ : On pose $X = \dfrac{1}{x} \iff x = \dfrac{1}{X}$. Quand $x \to +\infty$, $X \to 0^+$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} x^2(e^{1/x} - 1) &= \lim_{X \to 0^+} \dfrac{1}{X^2}(e^X - 1) \\ &= \lim_{X \to 0^+} \dfrac{1}{X} \cdot \dfrac{e^X - 1}{X} = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to 0^+} \dfrac{1}{X} = +\infty \text{ et } \lim_{X \to 0^+} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} x^2(e^{1/x} - 1) = +\infty}$$

9. $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} e^{1/x}$

Changement de variable $X = 1/x \to +\infty$ : On pose $X = \dfrac{1}{x} \iff x = \dfrac{1}{X}$. Quand $x \to 0^+$, $X \to +\infty$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} e^{1/x} &= \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{\sqrt{X}} = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{\sqrt{X}} = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} e^{1/x} = +\infty}$$

10. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - e^{-2x}}{x}$

Décomposition et taux d'accroissement $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - e^{-2x}}{x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{(e^{3x} - 1) - (e^{-2x} - 1)}{x} \\ &= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{e^{3x} - 1}{x} - \dfrac{e^{-2x} - 1}{x} \right) \\ &= \lim_{x \to 0} \left( 3 \cdot \dfrac{e^{3x} - 1}{3x} + 2 \cdot \dfrac{e^{-2x} - 1}{-2x} \right) = 5 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{t \to 0} \dfrac{e^t - 1}{t} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - e^{-2x}}{x} = 5}$$

11. $\lim_{x \to 1} \dfrac{e^x - e}{x - 1}$

Nombre dérivé en 1 : En factorisant par $e$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \dfrac{e^x - e}{x - 1} &= \lim_{x \to 1} e \cdot \dfrac{e^{x-1} - 1}{x - 1} = e \\ &\quad \left(\text{en posant } X = x-1 \to 0, \lim_{X \to 0} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 1} \dfrac{e^x - e}{x - 1} = e}$$

12. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{x}$

Changement de variable $X = \sqrt{x} \to +\infty$ : On pose $X = \sqrt{x} \iff x = X^2$. Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{x} &= \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X^2} = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X^2} = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{x} = +\infty}$$

13. $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2)$

Factorisation par $x^2$ $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2) &= \lim_{x \to +\infty} x^2 \left( \dfrac{e^x}{x^2} - 1 \right) = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty \text{ et } \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2} = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2) = +\infty}$$

14. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{\sqrt{x}}$

Changement de variable $X = \sqrt{x}$ : On pose $X = \sqrt{x} \iff x = X^2$. Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{\sqrt{x}} &= \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^{X^2}}{X} \\ &= \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X} \cdot e^{X^2 - X} = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X} = +\infty \text{ et } \lim_{X \to +\infty} (X^2 - X) = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{\sqrt{x}} = +\infty}$$

15. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x} + 3}{e^x + x}$

Factorisation par les termes dominants $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x} + 3}{e^x + x} &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x}(1 + 3e^{-2x})}{e^x(1 + x e^{-x})} \\ &= \lim_{x \to +\infty} e^x \cdot \dfrac{1 + 3e^{-2x}}{1 + x e^{-x}} = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty, \lim_{x \to +\infty} e^{-2x} = 0 \text{ et } \lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x} + 3}{e^x + x} = +\infty}$$

17. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{4x} - 1}{x}$

Changement de variable $X = 4x$ : On pose $X = 4x \iff x = \dfrac{X}{4}$. Quand $x \to 0$, $X \to 0$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{4x} - 1}{x} &= \lim_{X \to 0} 4 \times \dfrac{e^X - 1}{X} = 4 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to 0} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{4x} - 1}{x} = 4}$$

18. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - e^x}{x}$

Décomposition et taux d'accroissement $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - e^x}{x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{(e^{2x} - 1) - (e^x - 1)}{x} \\ &= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{e^{2x} - 1}{x} - \dfrac{e^x - 1}{x} \right) \\ &= \lim_{x \to 0} \left( 2 \cdot \dfrac{e^{2x} - 1}{2x} - \dfrac{e^x - 1}{x} \right) = 1 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{t \to 0} \dfrac{e^t - 1}{t} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - e^x}{x} = 1}$$

19. $\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 1)$

Changement de variable $X = 1/x \to 0^+$ : On pose $X = \dfrac{1}{x} \iff x = \dfrac{1}{X}$. Quand $x \to +\infty$, $X \to 0^+$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 1) &= \lim_{X \to 0^+} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to 0^+} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 1) = 1}$$

20. $\lim_{x \to 0^+} x e^{1/x}$

Changement de variable $X = 1/x \to +\infty$ : On pose $X = \dfrac{1}{x} \iff x = \dfrac{1}{X}$. Quand $x \to 0^+$, $X \to +\infty$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} x e^{1/x} &= \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X} = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X} = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} x e^{1/x} = +\infty}$$

21. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2} - 1}{x}$

Réécriture et taux d'accroissement $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2} - 1}{x} &= \lim_{x \to 0} x \cdot \dfrac{e^{x^2} - 1}{x^2} = 0 \times 1 = 0 \\ &\quad \left(\text{en posant } X = x^2 \to 0, \lim_{X \to 0} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2} - 1}{x} = 0}$$

Exercice 2 : Série d'approfondissement sur les exponentielles de base a, formes composées et encadrements

Calculer les 19 limites avancées suivantes :

$\lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(\dfrac{e^x - 3}{e^x + 3}\right)$
$\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 2)$
$\lim_{x \to -\infty} x(e^{1/x} - 2)$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{e^x}$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{\sin x}$
$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sqrt{e^{2x} - 1}}{x}$

$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - e^x}{x}$
$\lim_{x \to -\infty} \cos(x)e^x$
$\lim_{x \to +\infty} \sin(x)e^{-x}$

$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{\sqrt{x}} - 1}{x}$
$\lim_{x \to +\infty} x 3^{-x}$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{4^x - 1}{x}$

$\lim_{x \to 0} \dfrac{2^x - 1}{3x}$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{2^x - 1}{4^x - 1}$
$\lim_{x \to +\infty} (x - 1)6^{-x}$

$\lim_{x \to +\infty} (9^x - 9^{x+1})$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{11^x - 10^x}{x}$
$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3^x)$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5^x}{x^2}$

Indication

Utiliser la définition $a^x = e^{x \ln a}$, les règles de composition et le théorème d'encadrement (Gendarmes).

Corrigé

1. $\lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(\dfrac{e^x - 3}{e^x + 3}\right)$

Composition logarithme-exponentielle : On a $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x-3}{e^x+3} = 1$. En posant $X = \dfrac{e^x-3}{e^x+3} \to 1$ : $$\lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(\dfrac{e^x - 3}{e^x + 3}\right) = \lim_{X \to 1} \ln(X) = \ln(1) = 0$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(\dfrac{e^x - 3}{e^x + 3}\right) = 0}$$

2. $\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 2)$

Limite directe en $+\infty$ : Quand $x \to +\infty$, $\dfrac{1}{x} \to 0$, donc $e^{1/x} \to 1$ et $(e^{1/x} - 2) \to -1$. $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 2) &= -\infty \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 2) = -\infty}$$

3. $\lim_{x \to -\infty} x(e^{1/x} - 2)$

Limite directe en $-\infty$ : Quand $x \to -\infty$, $\dfrac{1}{x} \to 0$, donc $e^{1/x} \to 1$ et $(e^{1/x} - 2) \to -1$. $$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} x(e^{1/x} - 2) &= +\infty \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} x(e^{1/x} - 2) = +\infty}$$

4. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{e^x}$

Décomposition et croissance comparée $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{e^x} &= \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{x}{e^x} \right) = 0 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 \text{ et } \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty \implies \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = 0\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{e^x} = 0}$$

5. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{\sin x}$

Taux d'accroissement simultanés $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{\sin x} &= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{e^x - 1}{x} \times \dfrac{x}{\sin x} \right) = 1 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x} = 1 \text{ et } \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{\sin x} = 1}$$

6. $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sqrt{e^{2x} - 1}}{x}$

Réécriture et taux d'accroissement sous la racine : Pour $x > 0$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sqrt{e^{2x} - 1}}{x} &= \lim_{x \to 0^+} \sqrt{\dfrac{e^{2x} - 1}{x^2}} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \sqrt{2 \cdot \dfrac{e^{2x} - 1}{2x} \cdot \dfrac{1}{x}} = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{2x}-1}{2x} = 1 \text{ et } \lim_{x \to 0^+} \dfrac{2}{x} = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sqrt{e^{2x} - 1}}{x} = +\infty}$$

7. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - e^x}{x}$

Décomposition et taux d'accroissement $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - e^x}{x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{(e^{2x} - 1) - (e^x - 1)}{x} \\ &= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{e^{2x} - 1}{x} - \dfrac{e^x - 1}{x} \right) \\ &= \lim_{x \to 0} \left( 2 \cdot \dfrac{e^{2x} - 1}{2x} - \dfrac{e^x - 1}{x} \right) = 1 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{t \to 0} \dfrac{e^t - 1}{t} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - e^x}{x} = 1}$$

8. $\lim_{x \to -\infty} \cos(x)e^x$

Théorème d'encadrement (Gendarmes) : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-1 \le \cos(x) \le 1$. Comme $e^x > 0$, $-e^x \le \cos(x)e^x \le e^x$. Or $\lim_{x \to -\infty} (-e^x) = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. D'après le théorème d'encadrement, $\lim_{x \to -\infty} \cos(x)e^x = 0$.
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} \cos(x)e^x = 0}$$

9. $\lim_{x \to +\infty} \sin(x)e^{-x}$

Théorème d'encadrement (Gendarmes) : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-1 \le \sin(x) \le 1$. Comme $e^{-x} > 0$, $-e^{-x} \le \sin(x)e^{-x} \le e^{-x}$. Or $\lim_{x \to +\infty} (-e^{-x}) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$. D'après le théorème d'encadrement, $\lim_{x \to +\infty} \sin(x)e^{-x} = 0$.
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \sin(x)e^{-x} = 0}$$

10. $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{\sqrt{x}} - 1}{x}$

Changement de variable $X = \sqrt{x} \to 0^+$ : On a $x = X^2$. Quand $x \to 0^+$, $X \to 0^+$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{\sqrt{x}} - 1}{x} &= \lim_{X \to 0^+} \dfrac{e^X - 1}{X^2} \\ &= \lim_{X \to 0^+} \left( \dfrac{e^X - 1}{X} \times \dfrac{1}{X} \right) = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to 0^+} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1 \text{ et } \lim_{X \to 0^+} \dfrac{1}{X} = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{\sqrt{x}} - 1}{x} = +\infty}$$

11. $\lim_{x \to +\infty} x 3^{-x}$

Passage à la base $e$ ($3^{-x} = e^{-x\ln 3}$) : On pose $X = x \ln 3 \to +\infty$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} x 3^{-x} &= \lim_{x \to +\infty} x e^{-x\ln 3} \\ &= \lim_{X \to +\infty} \dfrac{X}{\ln 3} e^{-X} = \dfrac{1}{\ln 3} \lim_{X \to +\infty} \dfrac{X}{e^X} = 0 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X} = +\infty \implies \lim_{X \to +\infty} \dfrac{X}{e^X} = 0\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} x 3^{-x} = 0}$$

12. $\lim_{x \to 0} \dfrac{4^x - 1}{x}$

Passage à la base $e$ et taux d'accroissement : On réécrit $4^x = e^{x \ln 4}$. On pose $X = x \ln 4 \to 0$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{4^x - 1}{x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x\ln 4} - 1}{x} \\ &= \ln 4 \times \lim_{X \to 0} \dfrac{e^X - 1}{X} = \ln 4 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to 0} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{4^x - 1}{x} = \ln 4}$$

13. $\lim_{x \to 0} \dfrac{2^x - 1}{3x}$

Passage à la base $e$ et taux d'accroissement : On réécrit $2^x = e^{x \ln 2}$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{2^x - 1}{3x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln 2}{3} \times \dfrac{e^{x\ln 2} - 1}{x\ln 2} = \dfrac{\ln 2}{3} \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to 0} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{2^x - 1}{3x} = \dfrac{\ln 2}{3}}$$

14. $\lim_{x \to 0} \dfrac{2^x - 1}{4^x - 1}$

Division par $x$ au numérateur et dénominateur $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{2^x - 1}{4^x - 1} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{2^x-1}{x}}{\dfrac{4^x-1}{x}} \\ &= \dfrac{\ln 2}{\ln 4} = \dfrac{\ln 2}{2\ln 2} = \dfrac{1}{2} \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to 0} \dfrac{2^x-1}{x} = \ln 2 \text{ et } \lim_{x \to 0} \dfrac{4^x-1}{x} = \ln 4\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{2^x - 1}{4^x - 1} = \dfrac{1}{2}}$$

15. $\lim_{x \to +\infty} (x - 1)6^{-x}$

Passage à la base $e$ : On a $6^{-x} = e^{-x\ln 6}$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} (x - 1)6^{-x} &= \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x}{e^{x\ln 6}} - \dfrac{1}{e^{x\ln 6}} \right) = 0 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to +\infty} \dfrac{X}{e^X} = 0 \text{ avec } X = x\ln 6\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} (x - 1)6^{-x} = 0}$$

16. $\lim_{x \to +\infty} (9^x - 9^{x+1})$

Factorisation par $9^x$ $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} (9^x - 9^{x+1}) &= \lim_{x \to +\infty} 9^x(1 - 9) \\ &= \lim_{x \to +\infty} (-8 \cdot 9^x) = -\infty \\ &\quad \left(\text{car } 9 > 1 \implies \lim_{x \to +\infty} 9^x = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} (9^x - 9^{x+1}) = -\infty}$$

17. $\lim_{x \to 0} \dfrac{11^x - 10^x}{x}$

Décomposition et taux d'accroissement $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{11^x - 10^x}{x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{(11^x - 1) - (10^x - 1)}{x} \\ &= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{11^x - 1}{x} - \dfrac{10^x - 1}{x} \right) \\ &= \ln(11) - \ln(10) = \ln\!\left(\dfrac{11}{10}\right) \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to 0} \dfrac{a^x-1}{x} = \ln a\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{11^x - 10^x}{x} = \ln\!\left(\dfrac{11}{10}\right)}$$

18. $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3^x)$

Factorisation par $x^2$ $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3^x) &= \lim_{x \to +\infty} x^2 \left( 1 - \dfrac{e^{x\ln 3}}{x^2} \right) = -\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty \text{ et } \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x\ln 3}}{x^2} = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3^x) = -\infty}$$

19. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5^x}{x^2}$

Passage à la base $e$ et croissance comparée $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{5^x}{x^2} &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x\ln 5}}{x^2} \\ &= (\ln 5)^2 \times \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X^2} = +\infty \\ &\quad \left(\text{en posant } X = x\ln 5 \to +\infty, \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X^2} = +\infty\right) \end{aligned}$$
Conclusion $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5^x}{x^2} = +\infty}$$

Revoir le cours : 2. Limites Usuelles · Toutes les parties du cours