Introduction et Bornes d'une suite

Introduction

L'étude des suites numériques consiste à analyser le comportement d'une succession infinie de nombres réels ordonnés. Cette première partie introduit les notions fondamentales de majoration, de minoration et de bornes pour une suite, qui caractérisent la limitation des valeurs que la suite peut prendre.

Remarque : Modes de définition d'une suite

Une suite numérique $(u_n)$ peut être définie de deux manières principales :

- Par sa formule explicite (terme général) : Le terme $u_n$ est exprimé directement en fonction de l'indice $n$ : $$\boxed{u_n = 2n + 3}$$
Pour calculer n'importe quel terme, il suffit de remplacer $n$ par sa valeur. Par exemple : $u_5 = 2(5) + 3 = 13$.

- Par une relation de récurrence : Le terme $v_{n+1}$ est défini à partir du terme précédent $v_n$, en donnant le premier terme :
$$\boxed{\begin{cases} v_0 &= 2 \\ v_{n+1} &= 3v_n - 1 \end{cases} n \in \mathbb{N} }$$ Pour calculer un terme, il faut d'abord calculer les termes qui le précèdent. Par exemple : $v_1 = 3v_0 - 1 = 5$, puis $v_2 = 3v_1 - 1 = 14$.

Suite majorée, minorée, bornée

Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique.

- On dit que $(u_n)$ est majorée s'il existe un nombre réel $M$ tel que : $\boxed{\forall n \geq n_0, \quad u_n \leq M}$
Le nombre $M$ est appelé un majorant de la suite $(u_n)$.

- On dit que $(u_n)$ est minorée s'il existe un nombre réel $m$ tel que : $\boxed{\forall n \geq n_0, \quad u_n \geq m}$
Le nombre $m$ est appelé un minorant de la suite $(u_n)$.

- On dit que $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que : $\boxed{\forall n \geq n_0, \quad m \leq u_n \leq M}$
Ce qui est équivalent à dire qu'il existe un réel positif $K$ tel que : $\boxed{\forall n \geq n_0, \quad |u_n| \leq K}$

Méthodes pour démontrer les bornes d'une suite

Pour prouver qu'une suite est majorée, minorée ou bornée, plusieurs techniques peuvent être employées :

• Encadrement direct : On part des propriétés de l'indice $n$ (par exemple $n \ge 1$) pour encadrer l'expression de $u_n$ en utilisant des inégalités connues.
• Étude du signe d'une différence : Pour montrer que $u_n \le M$, on calcule la différence $u_n - M$ et on étudie son signe. Si $u_n - M \le 0$ pour tout $n$, la suite est majorée par $M$.
• Raisonnement par récurrence : C'est une démarche logique par étapes qui permet de démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier $n$ :
• Initialisation : On vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme (généralement $n = 0$ ou $n = 1$).
• Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un rang $n$ quelconque (hypothèse de récurrence), puis on montre qu'elle reste vraie pour le rang suivant $n+1$.
• Conclusion : On en déduit que la propriété est vraie pour tout entier $n$.

Exemples illustrant les 3 méthodes

Voici comment appliquer chaque méthode pour démontrer les bornes d'une suite :

Cas 1 : Encadrement direct
Soit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 2 + \frac{\cos(n)}{n}$

Démontrons que cette suite est bornée :
1. Pour tout entier $n \ge 1 $, on a : $-1 \le \cos(n) \le 1$.
2. En divisant par $n > 0$, on obtient : $-\frac{1}{n} \le \frac{\cos(n)}{n} \le \frac{1}{n}$.
3. Comme $n \ge 1$, on a : $-1 \le -\frac{1}{n} < 0$ et $0 < \frac{1}{n} \le 1$. On en déduit $-1 \le \frac{\cos(n)}{n} \le 1$.
4. En ajoutant 2 à chaque membre : $1 \le u_n \le 3$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est bornée par $1$ et $3$.

Cas 2 : Étude du signe de $u_n - M$
Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = \frac{2n + 5}{n + 2}$. Montrons que la suite est majorée par $3$ en étudiant le signe de $u_n - 3$ :

1. Calculons la différence $u_n - 3$ :
$$\begin{aligned}
u_n - 3 &= \frac{2n + 5}{n + 2} - 3 \\
&= \frac{2n + 5 - 3(n + 2)}{n + 2} \\
&= \frac{2n + 5 - 3n - 6}{n + 2} \\
&= \frac{-n - 1}{n + 2}
\end{aligned}$$ 2. Analysons le signe du quotient :
- Le numérateur est $-n - 1 < 0$ pour $n \ge 0$.
- Le dénominateur $n + 2 > 0$.
3. On en déduit : $\frac{-n - 1}{n + 2} < 0 \implies u_n < 3$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est strictement majorée par $3$.

Cas 3 : Raisonnement par récurrence
Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\begin{cases} u_0 &= 1 \\ u_{n+1} &= \frac{2u_n}{u_n + 3} \end{cases}, n \in \mathbb{N} $
. Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge 0$ :

* Initialisation : $u_0 = 1 \ge 0$.
* Hérédité : Supposons $u_n \ge 0$. et Montrons que $u_{n+1} \ge 0$.
Comme $u_n \ge 0 \iff 2u_n\ge 0 $
et $u_n \ge 0 \iff u_n + 3 \ge 3 > 0$
le quotient $u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n + 3} \ge 0$.
* Conclusion : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge 0$.

Application résolue (Démonstration par récurrence)

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $1 \leq u_n \leq 2$.