Monotonie d'une suite

Introduction

La monotonie décrit le sens de variation d'une suite (si ses termes croissent, décroissent ou restent constants au fur et à mesure que $n$ augmente). L'étude de la monotonie est une étape clé pour analyser le comportement global d'une suite.

Suite croissante, décroissante, constante

Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique.

- On dit que $(u_n)$ est croissante si :
$$\boxed{\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} \geq u_n}$$
- On dit que $(u_n)$ est décroissante si :
$$\boxed{\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} \leq u_n}$$
- On dit que $(u_n)$ est constante si :
$$\boxed{\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = u_n}$$
- On dit que $(u_n)$ est strictement croissante si $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n \ge n_0$.
- On dit que $(u_n)$ est strictement décroissante si $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n \ge n_0$.
- Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

Méthodes pour étudier la monotonie

Il existe deux méthodes principales pour déterminer le sens de variation d'une suite $(u_n)$ :

• Signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :
• Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$, alors la suite est croissante.
• Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$, alors la suite est décroissante.
• C'est la méthode universelle la plus sûre.

• Comparaison du rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ avec $1$ :
• *Condition impérative* : Tous les termes de la suite doivent être strictement positifs ($u_n > 0$).
• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$, la suite est croissante.
• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$, la suite est décroissante.

Exemple d'étude de monotonie (méthode de la différence)

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 2^n - n$.

Étudions la monotonie de cette suite en calculant la différence $u_{n+1} - u_n$ :
$$\begin{aligned}
u_{n+1} - u_n &= (2^{n+1} - (n+1)) - (2^n - n) \\
&= 2^{n+1} - n - 1 - 2^n + n \\
&= 2 \cdot 2^n - 2^n - 1 \\
&= 2^n - 1
\end{aligned}$$

Or, pour tout $n \geq 0$, on a $2^n \geq 1$, donc $2^n - 1 \geq 0$.

Comme $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, la suite $(u_n)$ est croissante (et même strictement croissante pour $n \geq 1$).

Application résolue (Monotonie d'une suite récurrente)

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
$$\begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1 \end{cases}$$

1. Sachant que $u_n \leq 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.