L'ensemble ℕ

Activité

Parmi les nombres suivants, lesquels sont des entiers naturels ?

$$0 \quad;\quad 8 \quad;\quad \sqrt{25} \quad;\quad \sqrt{34} \quad;\quad 12{,}5 \quad;\quad \dfrac{12}{3}$$

Certains ne se laissent reconnaître qu'après simplification.

ℕ et ℕ^*

Les entiers naturels forment un ensemble noté $\mathbb{N}$, et les entiers naturels non nuls l'ensemble $\mathbb{N}^*$ :

$$\boxed{\mathbb{N} = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,\dots\} \qquad \mathbb{N}^* = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,\dots\}}$$

Lire les symboles

• $3$ est un entier naturel : on écrit $3 \in \mathbb{N}$, et on lit « $3$ appartient à $\mathbb{N}$ ».
• $-5$ n'en est pas un : on écrit $-5 \notin \mathbb{N}$.
• $4$ est non nul : on écrit $4 \in \mathbb{N}^*$.
• $\sqrt{25} = 5$ donc $\sqrt{25} \in \mathbb{N}$, alors que $\sqrt{34} \notin \mathbb{N}$.

Un ensemble sans fin

Si $n$ est un entier naturel, son successeur $n+1$ en est un aussi. On ne peut donc jamais atteindre « le dernier » : $\mathbb{N}$ est infini.

Le symbole $\in$ se lit « appartient à », $\notin$ « n'appartient pas à ».

Application

1. Compléter par $\in$ ou $\notin$ :

$$15 \;\dots\; \mathbb{N} \qquad \dfrac{2\pi}{3} \;\dots\; \mathbb{N}^* \qquad \sqrt{12} \;\dots\; \mathbb{N} \qquad \dfrac{15}{3} \;\dots\; \mathbb{N}^* \qquad 0 \;\dots\; \mathbb{N}^*$$

1. Parmi $\sqrt{81}$, $\sqrt{50}$, $\dfrac{36}{4}$ et $\dfrac{36}{5}$, citer ceux qui appartiennent à $\mathbb{N}$.

1. Existe-t-il un plus grand élément dans $\mathbb{N}$ ? Justifier.

1. Traduire par une écriture mathématique : « $n$ est un entier naturel non nul ».