Nombres pairs et nombres impairs

Activité

Sans poser aucune opération, dire si ces nombres sont pairs ou impairs :

$$1359 + 59321 \quad;\quad 978^{2} - 65^{2} \quad;\quad 732 \times 753$$

Que suffit-il de connaître pour répondre ?

Pair, impair

Soit $a$ un entier naturel.

$$\boxed{a \text{ est pair} \iff \exists k \in \mathbb{N},\; a = 2k}$$
$$\boxed{a \text{ est impair} \iff \exists k \in \mathbb{N},\; a = 2k+1}$$

Tout entier est de l'un des deux types, jamais des deux.

Exemple

• $144 = 2 \times 72$, donc $144$ est pair.
• $161 = 2 \times 80 + 1$, donc $161$ est impair.

Parité d'une somme, d'une différence, d'un produit

Démonstration : pair + pair = pair

Supposons $a$ pair et $b$ pair. Il existe alors $k$ et $k'$ dans $\mathbb{N}$ tels que $a = 2k$ et $b = 2k'$.

$$\begin{aligned} a + b &= 2k + 2k' \\ &= 2(k + k') \end{aligned}$$

En posant $k'' = k + k' \in \mathbb{N}$, on obtient $a+b = 2k''$ : la somme est paire.

Les autres lignes du tableau se démontrent de la même façon.

Produit de deux entiers consécutifs

$$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\quad n(n+1) \text{ est pair}}$$

Démonstration. Deux cas, selon la parité de $n$.

*1er cas — $n$ pair*, $n = 2k$ :
$$\begin{aligned} n(n+1) &= 2k(2k+1) \\ &= 2\big(k(2k+1)\big) \end{aligned}$$

*2e cas — $n$ impair*, $n = 2k+1$, donc $n+1 = 2k+2$ :
$$\begin{aligned} n(n+1) &= (2k+1)(2k+2) \\ &= 2\big((2k+1)(k+1)\big) \end{aligned}$$

Dans les deux cas le produit est de la forme $2 \times (\text{entier})$.

Application

Soit $n$ un entier naturel. Étudier la parité de :

1. $2n+3$ 2. $4n^{2}+2n+5$ 3. $1 + (n+1)^{2} + (n+2)^{2}$ 4. $n^{2}+7n+13$