Exercices corrigés : L'ensemble ℕ

Exercice 1

Compléter par $\in$ ou $\notin$ : a) $\sqrt{49} \;\dots\; \mathbb{N}$ b) $\dfrac{20}{6} \;\dots\; \mathbb{N}$ c) $0 \;\dots\; \mathbb{N}^*$ d) $\sqrt{2} \;\dots\; \mathbb{N}$

Indication

Simplifier ou calculer avant de conclure.

Corrigé

Traiter chaque nombre après simplification.

• Étape 1 : simplifier : On ramène chaque écriture à sa forme la plus simple.
• $$\begin{aligned} \sqrt{49} &= 7 \\ \dfrac{20}{6} &= \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33 \\ \sqrt{2} &\approx 1{,}414 \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{\sqrt{49} \in \mathbb{N} \;;\; \dfrac{20}{6} \notin \mathbb{N} \;;\; 0 \notin \mathbb{N}^* \;;\; \sqrt{2} \notin \mathbb{N}}$$

Exercice 2

Soit $n \in \mathbb{N}$. Le nombre $\dfrac{n(n+1)}{2}$ est-il toujours un entier naturel ? Tester sur trois valeurs, puis justifier.

Corrigé

Tester, puis démontrer.

• Étape 1 : tester : On calcule pour $n = 3$, $n = 4$ et $n = 7$.
• $$\begin{aligned} \dfrac{3 \times 4}{2} &= 6 \\ \dfrac{4 \times 5}{2} &= 10 \\ \dfrac{7 \times 8}{2} &= 28 \end{aligned}$$
• Étape 2 : justifier : Parmi deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$, l'un est toujours pair.
• Conclusion : Le produit $n(n+1)$ est pair, donc sa moitié est entière : $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\quad \dfrac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}}$$

Exercice 3

Écrire en langage mathématique : a) « $x$ est un entier naturel supérieur ou égal à $5$ » b) « $y$ n'est pas un entier naturel » c) « $n$ est un entier naturel non nul inférieur à $10$ ».

Corrigé

Traduire chaque phrase.

• a) : L'appartenance et l'inégalité se cumulent : $x \in \mathbb{N}$ et $x \geqslant 5$.
• b) : La négation de l'appartenance : $y \notin \mathbb{N}$.
• c) « non nul » se dit avec l'étoile : $$\boxed{n \in \mathbb{N}^* \;\text{ et }\; n < 10}$$