Exercices corrigés : Nombres pairs et nombres impairs

Exercice 1

Soit $n$ un entier naturel. Étudier la parité de $n^{2} + 3n + 2$.

Indication

Factoriser avant de discuter.

Corrigé

Reconnaître un produit d'entiers consécutifs.

• Étape 1 : factoriser : Le trinôme se factorise :
• $$\begin{aligned} n^{2} + 3n + 2 &= n^{2} + n + 2n + 2 \\ &= n(n+1) + 2(n+1) \\ &= (n+1)(n+2) \end{aligned}$$
• Étape 2 : conclure $n+1$ et $n+2$ sont deux entiers consécutifs, donc leur produit est pair d'après le théorème.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\quad n^{2}+3n+2 \text{ est pair}}$$

Exercice 2

Démontrer que la somme de deux nombres impairs est paire.

Corrigé

Poser les deux nombres sous forme littérale.

• Étape 1 : poser : Soient $a$ et $b$ impairs : il existe $k, k' \in \mathbb{N}$ tels que $a = 2k+1$ et $b = 2k'+1$.
• $$\begin{aligned} a + b &= (2k+1) + (2k'+1) \\ &= 2k + 2k' + 2 \\ &= 2(k + k' + 1) \end{aligned}$$
• Conclusion : En posant $k'' = k+k'+1 \in \mathbb{N}$ : $$\boxed{a + b = 2k'' \text{ est pair}}$$

Exercice 3

Soit $n$ un entier naturel. Montrer que $n^{2}+7n+13$ est impair.

Indication

Distinguer les deux cas de parité de $n$.

Corrigé

Discuter selon la parité de $n$.

• 1er cas : $n = 2k$ : On remplace et on factorise par $2$ :
• $$\begin{aligned} n^{2}+7n+13 &= 4k^{2} + 14k + 13 \\ &= 2(2k^{2} + 7k + 6) + 1 \end{aligned}$$
• 2e cas : $n = 2k+1$ : De même :
• $$\begin{aligned} n^{2}+7n+13 &= (4k^{2}+4k+1) + (14k+7) + 13 \\ &= 4k^{2} + 18k + 21 \\ &= 2(2k^{2} + 9k + 10) + 1 \end{aligned}$$
• Conclusion : Dans les deux cas l'expression est de la forme $2k''+1$ : $$\boxed{n^{2}+7n+13 \text{ est impair pour tout } n \in \mathbb{N}}$$