Définitions et notations

Activité

Pour chacun des nombres suivants, cocher tous les ensembles auxquels il appartient :

$$\sqrt{2} \quad;\quad \dfrac{2}{3} \quad;\quad \dfrac{5}{2} \quad;\quad \dfrac{-\sqrt{9}}{3} \quad;\quad 7$$

Deux d'entre eux ne sont pas ce qu'ils paraissent.

Les cinq ensembles

$$\boxed{\begin{aligned} \mathbb{N} &= \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,\dots\} \\ \mathbb{Z} &= \{\dots\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,\dots\} \\ \mathbb{D} &= \left\{ \dfrac{a}{10^{n}} \;/\; a \in \mathbb{Z},\; n \in \mathbb{N} \right\} \\ \mathbb{Q} &= \left\{ \dfrac{a}{b} \;/\; a \in \mathbb{Z},\; b \in \mathbb{Z}^{*} \right\} \end{aligned}}$$

Les rationnels et les irrationnels forment l'ensemble des réels $\mathbb{R}$.

La chaîne des inclusions

$$\boxed{\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}}$$

Chaque inclusion est stricte : il existe à chaque étape un nombre nouveau.

• $-3$ sépare $\mathbb{Z}$ de $\mathbb{N}$
• $2{,}5$ sépare $\mathbb{D}$ de $\mathbb{Z}$
• $\dfrac{1}{3}$ sépare $\mathbb{Q}$ de $\mathbb{D}$
• $\sqrt{2}$ sépare $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$

Les notations à étoile et à signe

$$\begin{aligned} \mathbb{N}^{*} &= \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,\dots\} & \mathbb{Z}^{*} &= \mathbb{Z} \setminus \{0\} \\ \mathbb{Z}^{+} &= \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,\dots\} = \mathbb{N} & \mathbb{Z}^{-} &= \{\dots\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\} \end{aligned}$$

L'étoile retire le zéro ; le signe garde une moitié de la droite.

∈ ou ⊂ ?

• $\in$ relie un nombre à un ensemble : $-3 \in \mathbb{Z}$ ✔
• $\subset$ relie deux ensembles : $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$ ✔

Écrire $-3 \subset \mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Z} \in \mathbb{D}$ n'a aucun sens.

Pour montrer qu'une inclusion est fausse, un seul contre-exemple suffit : $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{D}$ car $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ et $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.

Où se place chaque nombre

Application

1. Compléter par $\in$ ou $\notin$ :
$$15 \;\dots\; \mathbb{N} \qquad \dfrac{2\pi}{3} \;\dots\; \mathbb{Q} \qquad \sqrt{3} \;\dots\; \mathbb{D} \qquad -\sqrt{\dfrac{12}{3}} \;\dots\; \mathbb{Z}$$

2. Compléter par $\subset$ ou $\not\subset$ :
$$\mathbb{Z} \;\dots\; \mathbb{D} \qquad \mathbb{D} \;\dots\; \mathbb{N} \qquad \mathbb{D} \;\dots\; \mathbb{Q} \qquad \mathbb{N} \;\dots\; \mathbb{R}$$

1. Donner un nombre appartenant à $\mathbb{Q}$ mais pas à $\mathbb{D}$, puis un appartenant à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$.

1. L'affirmation « tout nombre décimal est rationnel » est-elle vraie ? Et sa réciproque ?