Opérations dans ℝ

Activité

Calculer de tête $\;25 \times 17 \times 4$.

Quelle propriété permet de commencer par $25 \times 4$ plutôt que par $25 \times 17$ ?

L'addition dans ℝ

Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels :

$$\boxed{\begin{aligned} a + b &= b + a &&\text{commutative} \\ a + (b+c) &= (a+b) + c &&\text{associative} \\ a + 0 &= a &&0 \text{ élément neutre} \\ a + (-a) &= 0 &&-a \text{ opposé de } a \end{aligned}}$$

La multiplication dans ℝ

Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels :

$$\boxed{\begin{aligned} a \times b &= b \times a &&\text{commutative} \\ a \times (b \times c) &= (a \times b) \times c &&\text{associative} \\ a \times 1 &= a &&1 \text{ élément neutre} \\ a \times \dfrac{1}{a} &= 1 \;(a \neq 0) &&\dfrac{1}{a} \text{ inverse de } a \end{aligned}}$$

Opposé et inverse ne sont pas la même chose

• L'opposé de $a$ est $-a$ : il annule la somme.
• L'inverse de $a$ est $\dfrac{1}{a}$ : il ramène le produit à $1$.

$0$ possède un opposé ($0$ lui-même) mais aucun inverse : on ne divise jamais par zéro.

Distributivité

$$\boxed{a(b + c) = ab + ac}$$

Lue de gauche à droite c'est le développement, de droite à gauche la factorisation. C'est la propriété qui relie les deux opérations.

Application

1. Calculer et simplifier $\;A = \dfrac{2}{5} - 4 + \dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{15}$.

1. Calculer de tête $\;B = 4 \times 37 \times 25$ en nommant la propriété utilisée à chaque étape.

1. Développer $\;C = 5(2x - 3) - 2(x + 4)$.

1. Factoriser $\;D = 7x + 7y - 7z$.