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Exercices corrigés : Définitions et notations

3 exercices sur « Définitions et notations », partie 1 du cours « Les ensembles de nombres et le calcul dans ℝ » — Tronc Commun Sciences.

Exercice 1

Compléter par $\in$ ou $\notin$ : a) $\dfrac{15}{3} \;\dots\; \mathbb{N}$ b) $\sqrt{3} \;\dots\; \mathbb{Q}$ c) $\dfrac{2}{7} \;\dots\; \mathbb{D}$ d) $-\sqrt{9} \;\dots\; \mathbb{Z}$

Indication

Simplifier chaque nombre avant de conclure.

Corrigé

Simplifier puis classer.

  • Étape 1 : simplifier : On ramène chaque écriture à sa forme la plus simple :
  • $$\begin{aligned} \dfrac{15}{3} &= 5 \\ -\sqrt{9} &= -3 \\ \dfrac{2}{7} &= 0{,}285714\dots \end{aligned}$$
  • Étape 2 : classer $3$ n'est pas un carré parfait donc $\sqrt{3}$ est irrationnel. Le dénominateur $7$ empêche $\dfrac{2}{7}$ d'avoir une écriture finie.
  • Conclusion $$\boxed{\dfrac{15}{3} \in \mathbb{N} \;;\; \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} \;;\; \dfrac{2}{7} \notin \mathbb{D} \;;\; -\sqrt{9} \in \mathbb{Z}}$$

Exercice 2

Montrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est toujours irrationnelle.

Indication

Raisonner par l'absurde et isoler l'irrationnel.

Corrigé

Soient $r \in \mathbb{Q}$ et $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.

  • Étape 1 : supposer : Raisonnons par l'absurde : supposons que $r + x = s$ avec $s \in \mathbb{Q}$.
  • $$\begin{aligned} r + x &= s \\ x &= s - r \end{aligned}$$
  • Étape 2 : contredire : La différence de deux rationnels est un rationnel, donc $x \in \mathbb{Q}$ — ce qui contredit l'hypothèse.
  • Conclusion $$\boxed{\forall r \in \mathbb{Q},\; \forall x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\quad r + x \notin \mathbb{Q}}$$

Exercice 3

La fraction $\dfrac{9}{12}$ est-elle un nombre décimal ? Et $\dfrac{5}{12}$ ?

Indication

Simplifier, puis décomposer le dénominateur.

Corrigé

Un dénominateur ne contenant que des $2$ et des $5$ donne un décimal.

  • Étape 1 : simplifier : On réduit chaque fraction :
  • $$\begin{aligned} \dfrac{9}{12} &= \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2^{2}} \\ \dfrac{5}{12} &= \dfrac{5}{2^{2} \times 3} \end{aligned}$$
  • Étape 2 : conclure : Le premier dénominateur ne contient que des $2$ ; le second garde un facteur $3$ qui ne disparaît pas.
  • Conclusion $$\boxed{\dfrac{9}{12} = 0{,}75 \in \mathbb{D} \quad\text{et}\quad \dfrac{5}{12} = 0{,}41\overline{6} \notin \mathbb{D}}$$

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