Ensemble de définition d'une fonction numérique

Ensemble de définition

L'ensemble de définition d'une fonction $f$, noté souvent $D_f$, est l'ensemble des nombres réels $x$ pour lesquels l'image $f(x)$ est bien définie.$$D_f = \{x \in \mathbb{R} \;/\; f(x) \in \mathbb{R}\}$$

Remarques

• On dit qu'une fonction est définie sur un intervalle $I$ si $I$ est inclus dans son ensemble de définition.
• Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction, il faut éliminer toutes les valeurs pour lesquelles :
• Le dénominateur est nul
• L'expression sous le symbole de la racine carrée est négative

Technique : Domaines de définition usuels

Soient $P(x)$ et $Q(x)$ deux fonctions polynomiales :

Exemple

Déterminons l'ensemble de définition de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x-2}}{x-4}$.

$D_f = \{x \in \mathbb{R} \;/\; x - 2 \geq 0 \text{ et } x - 4 \neq 0\} = \{x \in \mathbb{R} \;/\; x \geq 2 \text{ et } x \neq 4\}$

Donc : $D_f = [2, 4[ \;\cup\; ]4, +\infty[$

Application

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
1) $f_1(x) = x^3 + 12x - 5$
2) $f_2(x) = \dfrac{-2x + 4}{5x + 3}$
3) $f_3(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2x^2 + 2x - 4}$