Fonction numérique d'une variable réelle

Définition d'une fonction numérique

Soit $D$ un ensemble de nombres réels. Définir une fonction numérique $f$ sur $D$ revient à associer, à chaque réel $x$ de $D$, au plus un seul réel, appelé image de $x$.

On note : $f : x \mapsto f(x)$

Notations

• Soit $a \in D$. L'image du nombre $a$ par la fonction $f$ est unique et se note $f(a)$.
• $f(a)$ se lit « $f$ de $a$ ». On écrit aussi $f : x \mapsto f(x)$.
• Si $b$ est l'image de $a$, on a $f(a) = b$ et $a$ est un antécédent de $b$ par $f$.
• Un nombre peut avoir plusieurs antécédents mais une seule image.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 3$.

• L'image de $-2$ : $f(-2) = 2 \times (-2)^2 - 3 = 2 \times 4 - 3 = 5$
• L'image de $0$ : $f(0) = 2 \times 0^2 - 3 = -3$
• L'image de $2$ : $f(2) = 2 \times 4 - 3 = 5$

Pour les antécédents de $5$ : $f(x) = 5 \Leftrightarrow 2x^2 - 3 = 5 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$ ou $x = -2$.

Application

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 3$.
1) Déterminer les images de $-2$, $0$ et $2$ par $f$.
2) Déterminer les antécédents, s'ils existent, des nombres $0$, $5$ et $-4$.