Exercices corrigés : Droites et plans dans l'espace

Exercice 1

Déterminez l'équation cartésienne du plan passant par le point A(1, 2, 3) et de vecteur normal n⃗(2, -1, 4).

Corrigé

• Forme générale de l'équation cartésienne : Le vecteur $\vec{n}(2, -1, 4)$ est un vecteur normal au plan $(P)$. Une équation cartésienne du plan $(P)$ s'écrit donc sous la forme : $$2x - y + 4z + d = 0$$ où $d$ est un nombre réel à déterminer.
• Détermination de la constante $d$ : Le point $A(1, 2, 3)$ appartient au plan $(P)$, ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan.
• $$\begin{aligned} 2(1) - (2) + 4(3) + d = 0 &\iff 2 - 2 + 12 + d = 0 \\ &\iff 12 + d = 0 \\ &\iff d = -12 \end{aligned}$$
• Conclusion : Une équation cartésienne du plan passant par $A(1, 2, 3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2, -1, 4)$ est $2x - y + 4z - 12 = 0$.