L'ordre et la comparaison

Activité

Comparer $A$ et $B$ dans chacun des cas :

1. $A = \dfrac{7}{15}$ et $B = \dfrac{6}{17}$
2. $A = 3\sqrt{5}$ et $B = \sqrt{37}$

Dans le second cas, une valeur approchée suffit-elle à démontrer le résultat ?

Définition

Soient $a$ et $b$ deux réels. On dit que $a$ est inférieur ou égal à $b$ lorsque :

$$\boxed{a \leqslant b \iff a - b \leqslant 0}$$

Comparer deux réels revient donc toujours à étudier le signe de leur différence.

La méthode

1. Former la différence $a - b$.
2. La réduire au même dénominateur, ou la factoriser.
3. Conclure d'après son signe.

Pour deux nombres positifs, on peut aussi comparer leurs carrés : cela fait disparaître les racines.

Exemple

$$\begin{aligned} \frac{7}{15} - \frac{6}{17} &= \frac{7 \times 17 - 6 \times 15}{255} \\ &= \frac{119 - 90}{255} \\ &= \frac{29}{255} > 0 \end{aligned}$$

donc $\dfrac{7}{15} > \dfrac{6}{17}$.

Pour $3\sqrt{5}$ et $\sqrt{37}$, tous deux positifs :

$$\begin{aligned} \left(3\sqrt{5}\right)^{2} &= 9 \times 5 = 45 \\ \left(\sqrt{37}\right)^{2} &= 37 \end{aligned}$$

Comme $45 > 37$, on conclut $3\sqrt{5} > \sqrt{37}$.

Se lire sur la droite

Application

Comparer $A$ et $B$ :

1. $A = \dfrac{2n-1}{2n}$ et $B = \dfrac{2n}{2n+1}$, avec $n \in \mathbb{N}^{*}$
2. $A = \sqrt{a+b}$ et $B = \sqrt{a} + \sqrt{b}$, avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}^{+}$
3. $A = x^{2}+1$ et $B = 2x$, pour tout réel $x$
4. $A = \sqrt{5}+\sqrt{3}$ et $B = \sqrt{15}$